פנסיונר גרמני הוכיח השערה סטטיסטית שהעסיקה חוקרים עשרות שנים. כל מה שהיה צריך זה יצירתיות וניסיון

סטטיסטיקאי גרמני הוכיח השערה מתמטית שהעסיקה את גדולי המתמטיקאים עשרות שנים. את מה שמתמטיקאים רבים ניסו להוכיח במשך כל הקריירה שלהם הצליח הפנסיונר לפתור מעל כיור האמבטיה בביתו.

אי-שוויון המתאם הגאוסי (Gaussian correlation inequality, או בקיצור GCI) התפרסם לראשונה בשנות ה-50 ונוסח באופן מלא בשנת 1972. כדי להמחיש אותו אפשר לחשוב על שני משתנים המתפלגים בצורה נורמלית באוכלוסייה, כמו גובה ומשקל. אם נסקור את הגובה של קבוצה אקראית של אנשים, נקבל שהגובה של רובם יהיה קרוב לממוצע גובה האוכלוסייה, ומספר קטן הרבה יותר של אנשים יהיו גבוהים או נמוכים בהרבה מהממוצע. כשמציגים את ההתפלגות שלהם בגרף מתקבלת מעין צורת פעמון.

אי השוויון קובע שאם נרצה לחשב את ההסתברות לשני משתנים יחד, למשל הסיכוי שאדם יהיה בגובה של 1.75 וגם ישקול 60 קילוגרם, ההסתברות הזו תהיה לכל הפחות המכפלה של שתי ההסתברויות שמרכיבות אותה. במונחים יותר מתמטיים נאמר שאי-השוויון מתאר גבול מינימלי עבור ההסתברות המשותפת של שני משתנים המתפלגים נורמלית.

דרך נוספת לנסח את אי-השוויון היא בעזרת צורות סימטריות ומשחק קליעת חצים למטרה. נדמיין שתי צורות סימטריות, למשל עיגול ומלבן, שממורכזות באותה נקודה. בהנחה שהצורות אינן זהות, יהיה בהכרח אזור שבו הן יחפפו ואזור אחר שלא תהיה בו חפיפה בין הצורות. אם נשחק בקליעת חצים למטרה שנמצאת בנקודת המרכז של שתי הצורות, ההסתברות שהחצים יפגעו בשתי הצורות יחד תהיה גדולה או שווה להסתברות שהחצים יפגעו בעיגול בלבד כפול ההסתברות שהחצים יפגעו במלבן בלבד. הסיבה היא שבמשחק קליעה למטרה, ההסתברות שחצים יפגעו במטרה מתפלגת גם היא בצורה נורמלית ולכן רוב החיצים יתרכזו ליד מרכז המטרה.

אי-שוויון המתאם הגאוסי הוכלל גם לממדים גבוהים יותר, אך במשך עשרות שנים נותר השערה בלבד, ומתמטיקאים רבים נכשלו בניסיון להוכיח אותו. לפני כשלוש שנים הצליח הפנסיונר הגרמני תומס רוין (Royen), סטטיסטיקאי במקצועו, להוכיח את ההשערה. רוין חשב על פתרון ההוכחה בבוקר של 17 ביוני 2014 בביתו, וכבר באותו ערב סיים לכתוב טיוטה ראשונית של ההוכחה. למרבה הפלא הספיקו לו כלים מתמטיים בסיסיים למדי כדי להוכיח את ההשערה.

ידוע שכאשר שני משתנים שמתפלגים בצורה נורמלית אינם תלויים זה בזה, ההסתברות המשותפת שלהם שווה למכפלת ההסתברויות של כל משתנה. כדי להראות שההסתברות המשותפת של שני משתנים שתלויים זה בזה תמיד גדולה יותר ממכפלת ההסתברויות של כל משתנה, רוין חישב את הנגזרת של ההסתברות המשותפת. ההשראה לפתרון הגיעה אליו אחרי שצבר עשרות שנות ניסיון בפיתוח נוסחאות סטטיסטיות ליעילותן של תרופות ניסיוניות בזמן שעבד בחברות תרופות.

רוין פרסם את ההוכחה כבר ב-2014, אך רק לאחרונה התחילה ההוכחה שלו לעורר הדים. הסיבה לעיכוב היא ככל הנראה העובדה שרויאן פרסם את הוכחתו בכתב עת שולי יחסית ובעל תפוצה נמוכה, לצד זאת שהכישלונות הרבים בהוכחת אי-השוויון גרמו למתמטיקאים רבים לפקפק באפשרות למצוא לו פתרון. רק לאחר ששני מתמטיקאים פולנים קידמו במאמר נוסף את ההוכחה זכה רויאן בכבוד המגיע לו.