אי אפשר לתאר את המחשבה המתמטית של ימינו בלי תרומתו היחידה במינה של מוחמד אל-ח'וואריזמי במאה התשיעית לספירה

אבו-עבדאללה מוחמד איבן מוסא אל-ח'וואריזמי (ابوعبدالله محمد بن موسی خوارزمی) נולד בסוף המאה השמינית לספירה בעיר ח'ווארזם שבמרכז אסיה, שנקראת כיום חיווה, ושייכת לאוזבקיסטן. מכאן השם שבו הוא זכור לאורך ההיסטוריה, "אל-ח'וואריזמי" – שבא מח'ווארזם. בכשבעים שנות חייו הוא הפך לאחד מענקי המתמטיקה. לא רק באזורו או בתקופתו, אלא בדברי ימי המתמטיקה כולה.

אל-ח'וואריזמי נולד וחי קצת אחרי שהשליטים המוסלמים הראשונים סיימו, בתוך כ-200 שנה, לכבוש את המרחב העצום שבין צפון הודו, מסופוטמיה והמזרח התיכון, דרך צפון אפריקה ועד לרוב ספרד. במאה השמינית נוסדה העיר בגדד, שהפכה לבירת האימפריה העצומה הזאת וכנראה הייתה בימים ההם העיר הגדולה והמפותחת ביותר מחוץ לסין. בגדד הפכה גם למרכז התרבותי הבלתי מעורער של כל המרחב המוסלמי, וזה לא היה דבר של מה בכך. לא היה זה רק הגודל העצום אלא גם העושר התרבותי שהיא ירשה – הארצות שבשליטת האסלאם ראו בעברן את התרבויות הקדומות של בבל ומצרים, ואפילו חלקים מהעולם ההלניסטי הקדום.

במאה התשיעית, האימפריה המוסלמית הייתה בשיא עוצמתה תחת שלטונם של הח'ליפים המוקדמים של בית עבאס. הח'ליף אל-מאמון ייסד בבגדד את "בית החוכמה", שריכז מפעל עצום של למדנות ושל איסוף מקורות הידע הקדומים מרחבי האימפריה ותרגומם לערבית. בין השיאים הללו של החשיבה האנושית היו גם חיבורים רבים מאוד במתמטיקה. חשיבות מפעלו של אל-מאמון ניכרת עד ימינו, שכן רבים מהמקורות ששרדו על המתמטיקה היוונית הגיעו אלינו דרך התרגום שלהם לערבית.

אל בית החוכמה זרמו מלומדים מכל רחבי העולם המוסלמי וגם מעבר לו. ביניהם היה גם אל-ח'וואריזמי. זה המקום שבו הוא העביר את מרבית שנות חייו, כשהוא מוקף בידע הקדמונים המתורגם עתה לשפתו. ובתוך כל העושר האינטלקטואלי הזה הוא פרץ דרך חדשה במתמטיקה שאיש לא חשב לפסוע בה לפניו.

מלומדים קוראים ספרים ב"בית החוכמה", אירו מהמאה ה-13 | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל
עושר אינטלקטואלי כמצע צמיחה. מלומדים קוראים ספרים ב"בית החוכמה", אירו מהמאה ה-13 | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

אבי האלגברה

אל-ח'וואריזמי עסק באריתמטיקה (תורת המספרים), טריגונומטריה, אסטרונומיה ועוד תחומים מתמטיים רבים ומגוונים. אבל פסגת הישגיו היא חיבור מופתי וגאוני שבזכותו הוא ידוע לנו כ"אבי האלגברה":  אל-כיתאב אל-מוכתאסר פי חישאב אל-ג'אבר ואל-מוכאבלה (הספר המקוצר  לחישובי השחזור/פיצוי/השלמה וההעברה/איזון). בהקדמה לחיבור, אחרי דברי התודה המתבקשים לח'ליף, הוא הסביר שמדובר בספר שימושי, שנועד לעזור בפתרון בעיות ובעריכת חישובים. השחזור והאיזון המוזכרים בכותרת הספר אינם אלא העברת האגפים וצמצום הביטויים במשוואות. אל-ח'וואריזמי היה הראשון שתיאר אותם בצורה כללית ושיטתית. 

העיסוק העיקרי של הספר היה במשוואות ריבועיות. למשל: "ריבוע ושנים עשר שורשים הם עשרים ושמונה מספרים". למה הכוונה? אף שהספר עוסק במשוואות, הוא כתוב כל-כולו במילים. לאל-ח'וואריזמי חסרה צורת הכתיבה המתמטית הנוחה שיש לנו. אמנם יסודותיה טמונים בכתבים שקדמו לתקופתו, אבל נראה שהוא לא הכיר אותם, ובכל מקרה צורת כתיבת המשוואות המוכרת לנו כיום התעצבה אחרי זמנו.

כדי להבין טוב יותר למה התכוון אל-ח'וואריזמי, נתרגם את דבריו: ריבוע – הוא הנעלם שלנו בריבוע. "שורשים" הם האיקסים, שורשי הריבוע. והמספרים הם פשוט מספרים. אם כך, "ריבוע ושנים עשר שורשים הם עשרים ושמונה מספרים" אינה אלא המשוואה: 

x2+12x=28

מה עושים? אל-ח'וואריזמי מסביר:

  • חלקו את 12 המספרים ל-4, ותקבלו 3 מספרים. 

  • הכפילו את 3 המספרים ב-3 מספרים, ותקבלו 9 מספרים.

  • הכפילו 9 פי 4, ותקבלו 36 מספרים.

  • הוסיפו ל-36 את 28 המספרים מהבעיה המקורית, ותקבלו 64. 

  • הוציאו שורש של 64, ותקבלו 8.

  • מה-8 החסירו חצי מהשורשים (כלומר האיקסים – 12 במקרה שלנו). 8 פחות 6 הם 2. 

זו התשובה.

x=2 הוא אכן הפתרון של המשוואה. עד ימיו של ח'וואריזמי ידעו לפתור משוואות כאלה רק במקרים מסוימים, כשהדברים הסתדרו בצורה נוחה במיוחד. אל-ח'וואריזמי הציג גישה כללית, שתעבוד תמיד על כל מספר שנשים במשוואה.

מדוע זה נכון? ח'וואריזמי לא הציג רק את דרך הפתרון, אלא גם נתן לו נימוק גיאומטרי מרהיב לכך: 

 אורך צלעו של הריבוע הירוק שבמרכז הוא ה-x המבוקש, ולכן שטחו x2.
אורך צלעו של הריבוע הירוק שבמרכז הוא ה-x המבוקש, ולכן שטחו x2.

שטחו של כל מלבן כחול הוא 3x, ולכן ארבעתם ביחד הם בדיוק ה-12x מהמשוואה שלנו. ביחד הירוק והכחולים שווים לפיכך 28, כי נתון לנו ש-x2+12x=28.

נוסיף את ארבעת הריבועים האדומים, ששטח כל אחד הוא 9, וארבעתם ביחד מסתכמים ל-36. קיבלנו 36+28=64. זהו שטח הריבוע הגדול כולו.

מכאן אפשר למצוא את אורך צלעו. אם השטח הוא 64, אז הצלע של הריבוע הגדול צריכה להיות 8. כדי למצוא את x, נותר לנו לחסר פעמיים צלע של ריבוע אדום, כלומר לחסר 6 ולקבל 2. 

כל צעד בתהליך שתיאר אל-ח'וואריזמי נובע משיקולים גיאומטריים.

עמוד מתוך "ספר האלגברה" אל-כיתאב אל-מוכתאסר פי חישאב אל-ג'אבר ואל-מוכאבלה | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל
חיבור גאוני שנועד לעזור בחישובים ובפתרון בעיות. עמוד מתוך "ספר האלגברה" אל-כיתאב אל-מוכתאסר פי חישאב אל-ג'אבר ואל-מוכאבלה | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

מאלגברה לאלגוריתם

היום אנחנו מכירים נוסחה כללית לפתרון משוואות ריבועיות – נוסחת השורשים. אל-ח'וואריזמי לא היה מסוגל לאחד את כל המשוואות הריבועיות ביחד, כי בתקופתו הכירו רק את המספרים החיוביים. לכן הוא נאלץ לחלק את המשוואות הריבועיות לשישה סוגים, ולכל סוג נתן רשימה של צעדים ברורים ומסודרים של תהליך הפתרון. אלגוריתם של ממש! 

איזה צירוף מקרים! הרי המילה דומה מאוד לשמו של המתמטיקאי "אל-ח'וואריזמי". למעשה אין כאן שום צירוף מקרים. המילה המוכרת לנו היום לתיאור תהליך סדור עם שלבים לפתרון בעיה, אינה אלא שיבוש שמו של אל-ח'וואריזמי עקב התעתיק הבעייתי שלו ללשונות אירופה. האות ח' חסרה בשפות אירופיות רבות, והוחלפה בג', וכך שמו של אל-ח'וואריזמי מתועד עד היום בשם השיטה המתמטית שפיתח.

לא רק האלגוריתם קיבל את שמו מעבודתו של אל-ח'וואריזמי. אותם פיצוי ואיזון שנמצאים בלב עבודתו, "אל-ג'אבר ואל-מוכאבלה", קוצרו ל"אל-ג'אבר" ומשם ל"אלגברה".

אל-ח'וואריזמי נחשב לאבי האלגברה לא רק משום שחיבורו נתן לה את שמה, אלא גם מהבחינה המהותית. במהות האלגברה נמצאת ההפשטה. העיקרון החשוב בספר הוא החלוקה לסוגים, ואז היכולת להגיד "כל הדברים מהסוג הזה הם אותו הדבר". לכך לא היה תקדים בתולדות המתמטיקה. היה זה מהלך מהפכני של ממש לעומת המתמטיקה היוונית, שעסקה ברובה בגיאומטריה.

אל-ח'וואריזמי היה הראשון שהתייחס ל"אובייקטים אלגבריים" כלליים: משוואה, משתנה ועוד. עד ימיו היו רק בעיות ופתרונות. הוא כבר דיבר על סוגים כלליים של בעיות, שהפך לאובייקט מופשט בפני עצמו, שאותו חוקרים ועליו מדברים, ולא על המקרים הפרטיים שלו. היום אנחנו מקבלים כמעט כמובן מאליו שזה אחד הדברים העיקריים שהמתמטיקה עושה. אבל עד אל-ח'וואריזמי זה פשוט לא היה נכון. המשוואה עבורו לא הייתה תירוץ לעיסוק בבעיה על מספרים, אלא הפכה בעצמה למטרה למחקר מתמטי.

את הצעד הראשון הזה של אל-ח'וואריזמי המשיכה אחריו שורה ארוכה של אלגבראים, שחקרו עוד ועוד משוואות ועלו ברמת המורכבות. בהמשך הם הרחיקו מעוף אל המופשט ובנו אובייקטים מתמטיים נוספים, כלליים יותר ומופשטים יותר, שאפשרו למתמטיקה לנסוק לגבהים חדשים. הכל התחיל בבית החוכמה בבגדד.