מתמטיקאים משוכנעים שמקצועם אסתטי מאוד. במתמטיקה יש חשיבות ליופי ולפשטות – אובייקטים מתמטיים ותורות מתמטיות נחשבים אלגנטיים כשהם מסתפקים בכלים בסיסיים.

בגיאומטריה יש מספר קטן של פאונים שנחשבים מושלמים ונקראים "פאונים משוכללים": הארבעון, הקובייה, התמניון, התריסרון והעשרימון (ראו תמונה). בגופים הללו הכול שווה: כל הצלעות שלהם שוות, כל הזוויות שוות ואפילו מספר הצלעות שיוצאות מכל קודקוד הוא קבוע. הגופים הללו נקראים גם "גופים אפלטוניים", כיוון שאפלטון דן בהם בדיאלוג "טימאוס".

ארבעון קובייה תמניון תריסרון עשרימון

חמשת הגופים האפלטוניים | תרשים: קיאל אנדרה, ויקיפדיה

כל זה לא אומר שהפאונים הלא משוכללים אינם מעניינים, ולכן בחרנו להקדיש את הכתבה הזו לאחד מהם: התריסרון המעוין.

התריסרון המעוין מורכב מ-12 מעוינים חופפים, שהיחס בין האלכסון הארוך לאלכסון הקצר בהם הוא 2√ .

התריסרון המעוין | התמונה נוצרה באמצעות התוכנה "Mathematica".

לתריסרון המעוין יש 24 צלעות ו-14 קודקודים. נכון, 24 לא מתחלק ב-14, ואכן יש בו שני סוגים של קודקודים: קודקודים שבהם נפגשות ארבע צלעות וקודקודים שבהם נפגשות רק שלוש צלעות.כדי לגלות כמה קודקודים יש מכל סוג, אבל קודם נסו לענות על השאלה הזו בעצמכם!

אפשר לפרק את התריסרון המעוין לשש פירמידות וקובייה פנימית, כפי שרואים בהנפשה הבאה. לחצו על אחת משתי התמונות לפי סוג האנימציה שבה תרצו לצפות (עם משקפי תלת-ממד או בלעדיהם).

כפי שרואים בהנפשה, אפשר להכניס את הפירמידות לתוך הקובייה (במקום להרכיב אותן מעליה), כאשר מעבירים את הקודקודים העליונים של הפירמידות לצד השני של בסיס הפירמידות. זוהי הוכחה לכך שנפח התריסרון המעוין גדול פי שניים מנפח הקובייה שבתוכו.

במקום לצפות באנימציה תוכלו להזיז את הפירמידות ואת קודקודיהן העליונים בעצמכם באמצעות היישומון למטה. לחצו על אחת משתי התמונות לפי סוג היישומון שברצונכם להפעיל.

 

הפאונים הארכימדיים והקשר לתריסרון המעוין
הפאונים הארכימדיים קצת פחות מושלמים מהפאונים המשוכללים שציינתי בתחילה: הפאונים הללו מורכבים משני סוגי מצולעים (בשונה מהפאונים המשוכללים שיש בהם רק סוג אחד של מצולע משוכלל). הנציג המפורסם ביותר של הקבוצה הזו הוא הכדורגל, שמורכב ממשושים וממחומשים משוכללים. שמו המקצועי הוא "איקוסהדרון קטום".

חבר אחר באותה הקבוצה הוא ה"קובאוקטהדרון", שמורכב משמונה משולשים ומשישה ריבועים, ובסך הכול 14 מצולעים.

הקובאוקטהדרון | התמונה נוצרה באמצעות התוכנה "Mathematica".

נכון, 14 הוא מספר הקודקודים של התריסרון המעוין. כלומר מספר המצולעים של הקובאוקטהדרון שווה למספר הקודקודים של התריסרון המעוין וגם ההיפך נכון: מספר המצולעים של התריסרון המעוין שווה למספר הקודקודים של הקובאוקטהדרון (12). כשמסמנים את מרכזי מצולעי הקובאוקטהדרון ומחברים ביניהם, מקבלים את התריסרון המעוין. ושוב, גם ההיפך נכון: כשמסמנים את המרכזי המצולעים של התריסרון המעוין ומחברים ביניהם מקבלים קובאוקטהדרון (ראו תמונה). לכן שני הגופים הללו נקראים "דואליים" זה לזה.

התריסרון המעוין דואלי לקובאוקטהדרון ולהיפך | תרשים: מטמן מלובלין, ויקיפדיה

ותכונה אחרונה חביבה: אפשר למלא את המרחב בלי חורים ובלי חפיפה באמצעות העתקים של התריסרון המעוין. ראו איור.

מילוי המרחב בתריסרון המעוין | תרשים: 43-TED, ויקיפדיה

התריסרון המעוין הוא צורה טיפית של הגראנטים.
 

אנדרדיט | צילום: דידיה דקואן, ויקיפדיה

האם גיליתם תכונות מעניינות נוספות של התריסרון המעוין? כתבו לנו!