לפעמים גם מתמטיקאים מעגלים פינות, ולא מפרטים את כל שלבי ההוכחה. איך עושים קיצורי דרך כאלה והאם הם לגיטימיים?

הגיאומטריה שלומדים בבית הספר היא אולי הדבר הקרוב ביותר למתמטיקה האידיאלית. מתחילים מאקסיומות, מתקדמים באמצעות הוכחות, דבר דבור על אופניו והכול מסודר. אך כמו האימפריה הרומית הקדושה, שנהוג להגיד שלא הייתה אימפריה, לא רומית ולא קדושה, גם התמונה הרומנטית הזאת היא שקר וכזב. ובעוד שיש הרבה מאוד להגיד על המתמטיקה של בית הספר, היום נפנה את תשומת לבנו להוכחות. 

המתמטיקה איננה יצור מושלם מעולם האידיאות – מעל הכול היא פרקטיקה של בני אדם. אם עץ נפל ביער ואיש לא שמע על ההוכחה לכך, הרי שלכל צורך מעשי הוא לא באמת נפל. ואם כל העולם המתמטי מסכים שהוכחתם שהעץ נפל, האם זה לא אומר שבמובן מסוים הוא נפל? נכון, התיאור הזה קצת מוגזם: אומנם דברי ימי המתמטיקה שופעים פספוסים ומחלוקות על תקפותן של הוכחות, אבל אחד הפלאים של התחום הזה הוא שבסופו של דבר העניינים מתיישבים. יש שם אמת שאי אפשר להתעלם ממנה. 

עם זאת, העיסוק המתמטי היומיומי רחוק מאוד לפעמים מהאידיאל האוקלידי הלא מושג הזה של הוכחות מסודרות המבוססות על אקסיומות. כבודה של האמת במקומה מונח, אבל בשלבי ביניים רבים העבודה המתמטית היא עיסוק חברתי לא פחות מאשר מתמטיקה נטו.

בשלבים כאלה מוצאות את מקומן שיטות הוכחה שלעיתים קרובות לא מקבלות את תשומת הלב הראויה. השיטות הללו אינן "נכונות" ואינן "שגויות" – הן משהו אחר: הוכחות מהסוג השלישי.

אוקלידס ותלמידיו בציור המפורסם של רפאל | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל
לא תמיד הכל מסתדר לפי ההוכחות שלו, שנלמדות בבית הספר. אוקלידס ותלמידיו בציור המפורסם של רפאל | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

1. קל לראות כי...

באמת קל לראות? לאו דווקא. העיקר הוא שהשיטה הזאת משמשת אותנו כדי לדלג מעל שלב בהוכחה שאיננו רוצים להיכנס אליו לפרטי פרטים או שאיננו מסוגלים להתמודד איתו כרגע. אולי הוא טכני ומסורבל; אולי הוא טריוויאלי וגורע מהיופי של מה שעשינו; אולי מסתתר פה סיבוך שמסיבות דידקטיות איננו רוצים לפתוח עכשיו ואנחנו בוחרים להסוות את קיומו מאחורי תירוץ; ואולי… אולי אנחנו טועים, ולא באמת קל לראות.

מה עושים? מגיעים למהמורה הלא רצויה, אומרים "קל לראות כי" ומדלגים למסקנה הבאה. אם עושים את זה מספיק מהר ובאלגנטיות, אפשר לקוות שהצופים לא ישימו לב – או שלפחות ירגישו לא נעים להעיר לנו. 

2. הבט!

המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן, מפורסם בכך שהצליח להגיע להישגים אדירים בתחומים רבים בלי שזכה להכשרה מתמטית פורמלית. מספרים עליו שרבות מההוכחות שלו נעשו בשיטת "הבט". הוא היה מוצא דרכים מתוחכמות להמחיש בעיות מתמטיות באופן חזותי, כך שהתשובה לשאלה הייתה מוטמעת כבר בשרטוט... לפחות מבחינתו. כך לא היה לו צורך בשום תוספת של נימוקים, טיעונים או הוכחות – די היה להראות את השרטוט, ולהביט. 

מה עושים? כשמגיעים למהמורה לא רצויה משרטטים שרטוט שמייצג את ההוכחה, נועצים בו (ובצופים) מבט רב משמעות, ולא אומרים דבר. 

3. נפנופי ידיים

"משיקולי סימטריה", "אם נמשיך את הפונקציה באותה הצורה", "אם בשני מצבי הקיצון זה נכון אז..." וטענות נוספות מאותה משפחה, כולן דודנים רחוקים של "קל לראות כי..." הידוע לשמצה. ההבדל הוא בייחוס המשפחתי: הטענות הללו באות מבתים מכובדים יותר, מעוטרות במילים מתמטיות מנופחות יותר או פחות, ובעיקר נסמכות על גרעין של אמת. ההוכחה בנפנופי ידיים לא מנסה להסתיר את הזינוק הלוגי שהיא עושה, ואף מספקת לו הסבר – אבל ההסבר שהיא נותנת הוא כללי, עמום ובלתי מספק לעין הדקדקנית. 

האם הוכחה בנפנופי ידיים היא באמת הוכחה? לרוב התשובה תהיה "כן" חד משמעי מצד מי שמבין את ההוכחה המלאה, ו"לאו" נחרץ מצד מי שלא. 

הכתבה פורסמה במקור בבלוג של מיכאל גורודין, "מורה, לא מחנך".