המספרים רשומים על כל טופס, אבל מה באמת המשמעות שלהם?

אז מה הסיכוי האמיתי לזכות בלוטו, ומה הסיכוי שאראלה תתקשר אליכם לאחר שעשיתם מנוי במפעל פיס? צפו בסרטון:

אם אתם מתעניינים במתמטיקה והסתברות, אתם מוזמנים לקרוא איך מחשבים את סיכויי הזכייה בלוטו. בכתבה הזו נעסוק לא באופן חישוב הסיכוי אלא במשמעותו.

אינטואיציה לקוייה

נתחיל בחידה קצרה: מיליון שניות הן כ-278 שעות או 11.5 ימים. כמה לדעתכם הן מיליארד שניות?

חשבו כמה שניות...

התשובה, שאני בטוח שתפתיע אתכם היא: מעט יותר מ-33 שנים ו-8 חודשים!

הסיבה שאני בטוח שהתשובה הפתיעה אתכם היא כי מחקרים מראים שוב ושוב שלאנשים יש אינטואיציה רעה מאוד כאשר מדובר על מספרים גדולים מאוד (או קטנים מאוד). עבור רוב האנשים אין הבדל משמעותי אם יאמרו להם שהסיכוי לזכות בלוטו הוא 1 ל-16 מיליון או 1 ל-16 מיליארד, קשה לתפוס כמה המספרים הללו שונים זה מזה, או כמה הם קטנים. זה קשה כי בחיי היום יום אנו לא נפגשים עם מיליון פריטים ודאי לא עם מיליארד. לכל היותר כמה עשרות או מאות.

דימויים ממשיים

מה שעוזר לתפוס מספרים גדולים זה תרגום שלהם לעצמים אחרים שאנו כן מכירים מחיי היום יום – גדלים, כמו אורך או גובה, וזמנים. זה מה שניסינו להמחיש בסרטון.

דף נייר הוא דק מאוד, עוביו של טופס לוטו ממוצע הוא כעשירית מילימטר (0.11 מילימטר ליתר דיוק). נמחיש באמצעותו מה זה אומר סיכוי של 1 ל-16,273,488, שזה הסיכוי לנחש נכונה את כל ששת המספרים שעולים בהגרלת הלוטו ואת המספר החזק. נניח שנערום 16 מיליון טפסי לוטו זה על גבי זה. נקבל מגדל בגובה של 0.11x16,000,000=1,760,000mm= 1760m – אלף שבע-מאוד ושישים מטרים!

גובהו של המגדל העגול במרכז עזריאלי הוא 187 מטרים, כלומר מגדל הטפסים הזה שווה ערך ל 1760/187 = 9.4 מגדלי עזריאלי. הסיכוי לנחש נכונה את המספרים בלוטו שווה לסיכוי לשלוף מתוך מגדל הניירות העצום הזה טופס אחד מסוים שעליו כתוב 'זכית'.

או, נניח, שאתם  על שפת הכינרת ואתם מכינים שביל מטופסי לוטו מקומטים לכדורים, כשכל כדור נייר הוא בקוטר חמישה סנטימטרים. אורכו של השביל יהיה:
5x16,273,488=81,367,440cm=814km – 814 קילומטרים, כמו המרחק בין טבריה לפאתי העיר בגדד שבעירק!

מפת המזרח התיכון עם שביל מהכינרת עד בגדד
שביל של כדורי נייר הבנויים מטפסי לוטו היה מתחיל בטבריה ומסתיים בבגדד | איור: רונית צווייג

הסיכוי לנחש נכונה את מספרי הלוטו זהה לסיכוי להרים כדור נייר אחד, שרק עליו כתוב 'זכית' מתוך כל השביל העצום הזה! אם חושבים על זה ככה מבינים כמה קטן הסיכוי לזכות! מה המשמעות של 1 ל-16 מיליון.

טלפון מאראלה

ומה לגבי מנוי פיס (תוכנית המנויים של מפעל הפיס)? כאן אין צורך לנחש מספרים. מפעל הפיס מקיים הגרלה בין כל המנויים לתוכנית, כלומר הסיכוי לזכות בסכום משמעותי (מעל 10,000 שקל) משתנה לפי מספר המנויים – שעומד על 550-650 אלף. כאשר לזוכים הללו מתקשרת אראלה ממפעל הפיס לספר את הבשורה המשמחת. זה סיכוי טוב בהרבה מהסיכוי לזכות בלוטו, אבל עדיין נמוך מאוד. לצורך ההדגמה מה המשמעות של הסיכוי הזה, נניח כי אראלה הייתה צריכה להתקשר למנויים שלא זכו באותה הגרלה, ושכל שיחה הייתה אורכת כ-20 שניות בלבד. חשבון פשוט מראה כי זה היה לוקח לה כ-13 מיליון שניות – שהם כ-3,600 שעות שהם כ-150 יום! וזאת בהנחה שהייתה מדברת בטלפון 24 שעות ביממה ללא הפסקה!

אז מה המסקנה?

מה שבטוח – הסיכוי לזכות בלוטו, וגם בתוכנית המנויים נמוך מאוד מאוד (מאוד!) ורוב האנשים לא יזכו לעולם בפרס גם אם ימלאו טופס לוטו כל חייהם. האם זה אומר שלא צריך להשתתף בהגרלות? זו כבר החלטה שלכם: מצד אחד סיכוי נמוך מאוד ומהצד השני בכל זאת כל כמה זמן, מתוך מיליוני הטפסים שממולאים יש בסופו של דבר זוכה. והכסף שמרוויח מפעל הפיס הולך למטרות טובות כמו בניית מוסדות חינוך, תמיכה בתרבות – שזאת חצי נחמה.

בזמן הכנת הכתבה נתקלתי בטיעון שבכל זאת מעורר מחשבה לגבי השתתפות בהגרלות: כל החיים הבוגרים שלנו אנו מקיפים עצמנו בביטוחים: ביטוח חיים, רכב, דירה, בריאות ועוד. בכולם אנו משלמים כל חודש סכומי כסף גדולים, למקרה ש... 'יפול' עלינו המזל הרע ('נאחס' בערבית מדוברת), ואז נקבל פיצוי. הטיעון אומר: השתתפות במשחקי מזל הוא כמו תמונת הראי של ביטוח, כלומר – לשלם סכום חודשי למקרה ש... 'יפול' עלינו המזל הטוב :-)