את רוב כלי המיתר מכוונים באמצעות השוואה פשוטה בין המיתרים. בפסנתר זה בלתי אפשרי. למה? בגלל המתמטיקה

כשאנחנו פורטים על גיטרה נדמה לנו שאנחנו שומעים צליל יחיד, אך למעשה אנו מנגנים אוסף של צלילים שנשמעים בו-זמנית. לכל מיתר יש צליל יסוד משלו, שמאופיין על ידי תדירות יסוד – קצב הרטיטות של המיתר, שנהוג לתאר באמצעות גל עולה ויורד בצורת סינוס.

כשאנו פורטים על מיתר נשמע צליל היסוד, שאליו נלווים סדרה של צלילים עיליים (אובר-טונים). הצלילים העיליים הללו הם למעשה צלילים בתדירויות נוספות שמבוססים על כפולות שלמות של תדירות היסוד. אם צליל היסוד הוא בתדר f, הצליל העילי הראשון יהיה בתדר 2f, הצליל העילי השני יהיה בתדר 3f וכן הלאה.

אם כן, הגיטרה משמיעה צליל מורכב, המכיל גם את צליל היסוד וגם את הצלילים העיליים שלו. צורת הגל של הצליל המורכב היא סכום צורות הגל של צליל היסוד והצלילים העיליים המרכיבים אותו.

כל אלה תלויים במאפייני המיתר, כגון מידת המתיחה שלו, אורכו והמסה שלו. מיתר מתוח מפיק צליל גבוה יותר ממיתר רפוי. על אורך המיתר אפשר להשפיע באמצעות לחיצה על המיתר. בגיטרה, לדוגמה, נלחץ על המיתרים בנקודות שונות כדי להפיק תווים שונים. ככל שהמיתר ארוך יותר כך הצליל נמוך יותר, ועל כן לחיצה על המיתר, שמקצרת אותו. תפיק צליל גבוה יותר.

גם החומר שממנו עשויים המיתרים ישפיע על צלילו של המיתר שעליו פרטנו. מיתרי כינור, למשל, נהגו לייצר במקור ממעי בעלי חיים. כיום רובם עשויים פלדה או חומר סינתטי.

ליחסים בין צלילי המיתר ניתנו שמות. אוקטבה, למשל, מציינת יחס של 1:2 בין תדר היסוד f לצליל העילי הראשון, שתדירותו 2f. קווינטה מציינת יחס של 2:3 בין שני צלילים, למשל בין הצליל העילי הראשון לצליל העילי השני, שתדירותו 3f. כשמנגנים כמה מהתווים הללו יחד מקבלים צליל נעים לאוזן שנקרא הרמוניה, ועל כן רצף הצלילים נקרא "הרמוניות". ההרמוניות הללו שימושיות לכיוון כלי מיתר. למשל ההרמוניה הרביעית במיתר הראשון של הגיטרה זהה להרמוניה השלישית במיתר השני, ואפשר למתוח את המיתרים כך ששני הצלילים הללו יהיו זהים.

השילוב בין כלי מיתר לכלי הקשה לא מאפשר כיוונון על פי מרווחים שלמים. מבנה פנימי של פסנתר | צילום: |Shutterstock
השילוב בין כלי מיתר לכלי הקשה לא מאפשר כיוונון על פי מרווחים שלמים. מבנה פנימי של פסנתר | צילום: |Shutterstock 

המתמטיקה המשונה של הפסנתר

בפסנתר, שנחשב לשילוב של כלי מיתר וכלי  הקשה, זה בלתי אפשרי, וכך גם בכמה כלי נגינה נוספים. יש בו מקש נפרד לכל אחד מ-12 חצאי הטונים בכל אוקטבה, והיות שלרוב הפסנתרים יש טווח של שבע אוקטבות, מדובר בסך הכול ב-84 קלידים – וברוב הפסנתרים יש גם כמה קלידים נמוכים יותר וגבוהים יותר.

נניח שנרצה לכוון את הפסנתר על ידי מרווחים שלמים בין התווים, כך שהאוקטבה תגדיר את המחזוריות שלו. ונתחיל במקש של התו פָה. כדי לעשות את זה נשווה את ההרמוניה התשיעית של המקש להרמוניה השמינית של המקש הבא, סול. הצלילים שנקבל אמורים להיות זהים. אם נעשה את הקפיצה הזו שש פעמים, אנחנו אמורים להגיע למקש הצליל פה באוקטבה אחת גבוהה יותר, כלומר פָה בתדירות כפולה מהפָה המקורי.

אז מה הבעיה? מה שעשינו היה בעצם לקחת את התדירות המקורית f ולהכפיל אותה שש פעמים בתשע שמיניות (9/8). זה שווה ל: f*(9/8)6  שהוא 2.027f. כלומר הגענו לתדר שהוא לא 2f אלא 2.027f. אותו חוסר סִנכרון יקרה אם ננסה לכוון את הפסנתר על ידי שימוש במרווחים אחרים, דוגמת חצאי טונים או קוורטות. מתברר שמבחינה מתמטית אי אפשר לכוון את כל מקשיו של פסנתר על ידי הרמוניות.

מהסיבה הזאת, מכווני פסנתרים משתמשים בשיטה אחרת – כוונון מושווה.  בשיטה הזאת, בין כל שני קלידים צמודים בפסנתר, שחורים ולבנים, יש יחס של 2√12 (שורש 12 של 2). זה מוביל לידי כך שבמעבר של 12 הקלידים בין צליל אחד לצליל שני הגבוה ממנו באוקטבה, נכפיל 12 פעמים ב-2√12. כך נגיע מתדירות f לתדירות 2f. כלומר, בין שני מקשי התו פָה בפסנתר יש אוקטבה אחת בדיוק.

לשיטה הזאת יש מחיר: היא מאלצת אותנו לוותר על דיוק מלא במרווחים האחרים, ועל כן יש סטיות קטנות בכוונון. אך היות שאי הדיוקים הללו הם המחיר שבזכותו אנחנו יכולים לנגן בפסנתר בכל סולם שנרצה, זאת השיטה שבה משתמשים כיום רוב מכווני הפסנתרים.