התמרת פוּרייֶה או פירוק פורייה (על שם המתמטיקאי ז'אן-בטיסט פורייה) הוא אחד הכלים המתמטיים החשובים המשמשים בפיסיקה ובהנדסה גם יחד. כשמדברים על התמרת פורייה מתכוונים לפירוק של פונקציה לרכיבים המחזוריים שלה. הדוגמה הנפוצה ביותר לכך היא פירוק של אות כלשהו, כמו שידור רדיו שהוא פונקציה מסובכת מאוד של זמן, לתדרים הבודדים המרכיבים אותו, וציון היחס בין העוצמות של כל אחד מהתדרים.
קיימים שני סוגים של פירוקי פורייה. הסוג הראשון הוא פירוק בדיד, כלומר פירוק למספר סופי של תדרים, למשל כשיש אילוץ כלשהו על טווח התדרים כמו שקורה בתדרים שאפשר להפיק ממיתר של גיטרה. השני הוא פירוק רציף, כלומר פירוק לאינסוף תדרים שונים.
היישומון שלפנינו יאפשר לנו לראות איך אפשר להרכיב פונקציה כללית מאוד משילוב של פונקציות מחזוריות (גלי סינוס בעוצמות שונות). מדובר ביישומון מסובך יחסית ומורכב שמאפשר לשחק במגוון רחב של פרמטרים. בכתבה אנסה להדריך אתכם בדברים החשובים ביותר. לאחר מכן תוכלו להמשיך לשחק ביישומון להנאתכם, ואם תיתקלו בדרך במשהו מעניין או לא ברור אנא פרסמו זאת כתגובה לכתבה ואני אתייחס לממצאיכם.
לצפייה ביישומון לחצו על התמונה ופתחו את הקובץ המקושר (יישומון ג'אווה).
היישומון הופק במסגרת פרויקט PhET של אוניברסיטת קולורדו
להורדת היישומון ולהרצתו על המחשב לחצו כאן
אם אינכם מצליחים להעלות את היישומון, התקינו את תוכנת Javaweb. לחצו כאן והתקינו לפי ההוראות.
נתחיל כך שהלשונית משמאל למעלה תראה על מצב בדיד, כלומר פירוק פורייה בדיד. במצב הזה נוכל לראות איך לבנות פונקציה מסוימת על ידי חיבור של גלים מחזוריים. אפשר לחבר עד 11 גלים שונים (המספר מוגדר בצד ימין בתור מספר התנודות העיליות).
בצד שמאל המסך מחולק לשלושה חלקים. החלק העליון מראה לנו מהו המשקל של כל גל בהרכבת הפונקציה הכוללת (תוכלו להבין זאת כשתראו את סכום פורייה). A1 הוא המשקל של הגל בעל התדירות הנמוכה ביותר, A2 הוא המשקל של הגל בעל תדירות כפולה מהראשון, A3 הוא המשקל של הגל שתדירותו גבוהה פי שלושה מזו של הגל הראשון וכך הלאה. המקדמים הללו (A1, A2 וכו') יכולים לקבל גם ערכים שליליים. תוכלו לראות זאת בתור התמרת פורייה (מיד אסביר איך להציג זאת).
המסך השמאלי האמצעי יראה לכם את כל הגלים שהוספתם. המסך התחתון יראה לכם את הפונקציה הכוללת שהתקבלה. אם תסמנו "אפיון מתמטי" בצד ימין תוכלו לראות את הנוסחה המתאימה מעל כל אחד מהגרפים. אם תסמנו גם את "פתח סכום" תוכלו לראות את סכום פורייה המדויק, כלומר מהי הנוסחה של הפונקציה שהרכבתם מהגלים השונים. הסכום הזה יעזור לכם להבין את תפקיד המשקל שניתן לכל רכיב ומה המשמעות שיש למשקל שלישי (למבינים, משקל שלישי הוא ההכפלה של גל בעל משקל חיובי במינוס אחד. כלומר המשקל של הגל נשאר זהה אבל המופע שלו משתנה ב-180 מעלות)
כדי להתחיל ללמוד על התכונות של פירוק פורייה, גשו לתיבה הימנית העליונה. תוכלו לבחור פונקציות קבועות ולראות כיצד הגלים השונים מרכיבים אותן. לדוגמה, אם תבחרו בגל של קוסינוס או סינוס תראו שהוא מורכב מרכיב פורייה אחד בלבד, כלומר מגל אחד בלבד. מאחר שקוסינוס וסינוס הוא בעצמו גל.
בחרו בפונקציה אחרת, לדוגמה ריבוע. בחרו באופציה של פונקציה עם מספר אינסופי של תנודות. האופציה הזו תראה לכם באמצעות גרף אפור בחלון התחתון משמאל איך הפונקציה היתה נראית לו היתם מרכיבים אותה מאינסוף גלים, ולא ממספר גלים בודד.
שנו את מספר הגלים שמהם הפונקציה מורכבת מ-1 ועד 11. תוכלו לראות שההתאמה בין הפונקציה המתקבלת לקו האפור הולכת ומשתפרת ככל שמתרבים הגלים. נסו להסביר מדוע יש צורך במספר רב (אפילו אינסופי) של גלים כדי לתאר פונקציה כמו גל מרובע. חזרו על הניסוי עם פונקציות שונות וראו שאתם מבינים איך החיבור של גלים פשוטים יוצר פונקציות מסובכות. תוכלו להסתכל על הפונקציה בציר הזמן, או התדר, או שניהם יחדיו. אני ממליץ לכם לסמן מדי פעם את אופצית "פתח סכום" כדי לקבל הבנה מתמטית של סכום פורייה.
לבסוף, אם תרצו, תוכלו להפעיל את אופצית הקול ולשמוע איך נשמעת הפונקציה. חדי השמיעה שביניכם יבחינו שהאוזן שלהם מבצעת פירוק פורייה בעצמה ומאפשרת להם להבחין בכמה מהתדרים השונים המרכיבים את הפונקציה שאתם שומעים. לאחר שהתנסיתם בפונקציה שנקבעה מראש, תוכלו לשחק באופן ידני עם המשרעות של הגלים השונים ולנסות ולהרכיב כל פונקציה שתרצו.
בשלב הבא נבחן את הפירוק הרציף. נעבור בלשונית מבדיד לרציף. מצד שמאל המסכים מחולקים באופן דומה, אבל הפעם מוצגת רק פונקציה אחת – חבילת גלים והפירוק שלה. בצד ימין תוכלו לשלוט בפרמטר "ריווח בין רכיבי פורייה". רכיבי פורייה הם התדרים הבסיסים המרכיבים את הפונקציה, כך שריווח אפס אומר שהפונקציה רציפה וריווח גדול אומר שיש בה פחת ופחות תדרים.
נתחיל במצב של ריווח אפס, כלומר רציף. החלון השמאלי התחתון יראה לכם את פירוק פורייה. מי מכם שמתמצאים בהבדלים הדקים שבין סכומים לאינטגרלים יבחינו שהנוסחה של פירוק פורייה השתנתה מסכום, כמו במקרה הבדיד, לאינטרגל.
סמנו מצד ימין את "צייר מעטפת" ותוכלו לראות את מעטפת הפונקציה. אף שהפונקציה מכילה ערכים שלילים וחיוביים, המעטפת כולה חיובית. נסו לחשוב על הסבר לזה ופרסמו אותו בתגובה לכתבה.
מה שמודגם כאן הוא אחד העקרונות החשובים ביותר של התמרת פורייה. שימו לב שמצד ימין תוכלו לשנות את רוחב הפונקציה המקורית (אם תסמנו זאת, הרוחב ישורטט על גבי הפונקציה). רוחב פירוק פורייה של הפונקציה (חלון תחתון), ישתנה גם הוא. התכונה המתמטית הזו חשובה ביותר, ותוכלו לראות שקיים יחס הפוך בין רוחב פונקציה לרוחב של פירוק פורייה שלה, כך שכאשר פונקציה אחת מתרחבת הפונקציה השניייה נהיית צרה יותר. לתכונה הזו יש חשיבות אדירה בפיסיקה של ימינו.
נסו לחשוב אם אתם מכירים שני גדלים שמכניקת הקוונטים קובעת שכאשר האחד צר מאוד, כלומר ידוע היטב, השני רחב מאוד, כלומר קיימת אי-ודאות במדידתו. גדלים כאלה אכן קיימים והקשר ביניהם קשור מאוד להתמרת פורייה. אם הנושא מעניין אתכם תוכלו להרחיב על אודותיו בשאלות בתגובות לכתבה.
עכשיו נסו לשחק עם הפונקציות. שנו את הריווח של רכיבי פורייה ואת רוחב הפונקציה ותוכלו לראות איך הדבר משפיע על פירוק פורייה שלה. כמו כן תוכלו להזיז את מרכזה. אם נתקלתם במשהו מעניין בדרך, אל תהססו לשתף אותנו.
הלשונית האמצעית תאפשר לכם לשחק משחק שידגים לכם עד כמה פירוק פורייה אינו אינטואיטיבי. במהלך המשחק תקבלו פונקציה כלשהי ותוכלו לנחש את רכיבי פורייה שלה, כלומר לשנות אותם עד שתצליחו להתאים את הפונקציה. נסו לשחק וראו כמה האתגר הופך להיות יותר ויותר מסובך ככל שמספרם של רכיבי פורייה גדל.
על הקשר בין התמרת פורייה לעקרון אי-הוודאות תוכלו ללמוד מהסרטון על אטום המימן ועקרון אי-הוודאות.
ירון גרוס
המחלקה לפיסיקה של חומר מעובה
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
