נגזרות ואינטגרלים הם מושגים שמעוררים בתלמידים רבים חלחלה (כמעט כמו המושג מעורר האימה "פונקציה"). למרות זאת, בסופו של דבר הנגזרת והאינטגרל הן פעולות מתמטיות פשוטות יחסית, כך שאם מצייתים לכמה כללים לא מסובכים אפשר לפתור אותן מהר ונכון.
היישומון שלפנינו ממחיש איך נראים נגזרת ואינטגרל בצורה גרפית וכך מסביר את ההיגיון שמאחוריהם. לצפייה ביישומון לחצו על התמונה ופתחו את הקובץ המקושר (יישומון ג'אווה).
היישומון הופק במסגרת פרויקט PhET של אוניברסיטת קולורדו
להורדת היישומון ולהרצתו על המחשב לחצו כאן
אם אינכם מצליחים להעלות את היישומון, התקינו את תוכנת Javaweb. לחצו כאן והתקינו לפי ההוראות.
לפני שנתחיל לשחק ביישומון בואו ניתן כמה הגדרות יסוד:
פונקציה: ההגדרה האנציקלופדית לפונקציה היא "התאמה המשייכת לכל איבר בקבוצה אחת, איבר יחיד בקבוצה שנייה" (ויקיפדיה). למעשה, פונקציה היא פעולה שנעשית על קבוצת איברים (x) ושתוצאת הפעולה y נותנת קבוצת איברים אחרת, או (f(x. פונקציה יכולה להיות פשוטה, כמו y=x+1, או מורכבת יותר כמו y=√¾x³+¼x²+96x+7sin3x² , אבל תמיד נקבל בה ערך מספרי אם נציב בה ערך מספרי כלשהו.
נגזרת: הנגזרת היא צורה לביטוי השינוי שחל בקצב הפונקציה. קצב השינוי בכל נקודה הוא ערך מספרי, והנגזרת היא ביטוי מתמטי כללי (או פונקציה, אם תרצו), שמתאר את קצב השינוי בכל נקודה. לחישוב הנגזרת של פונקציה יש כללים מאוד ברורים שרשומים בכל ספר לימוד לקלקולוס או לחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (חדו"א).
אינטגרל: אינטגרל הינו החישוב של השטח שנמצא מתחת לגרף הפונקציה בין שתי נקודות, וגם אותו אפשר לתאר באמצעות ביטוי מתמטי כללי (פונקציה). האינטגרל הוא הפעולה המתמטית ההפוכה לגזירה (חישוב נגזרת). אפשר לומר שפונקציה מסוימת היא האינטגרל של הנגזרת שלה, או שהפונקציה היא הנגזרת של האינטגרל שלה (לא להתעלף בבקשה). לצערנו הרב לא תמיד פשוט למצוא אינטגרל, אך לשם כך קיימות טבלאות אינטגרלים שנותנות פתרונות לכמה מהאינטגרלים המייצגים, וגם כאן קיימים חוקים ברורים לחישוב אינטגרל.
נגזרת ואינטגרל אינם רק המצאה של מורים שמבקשים למרר את חיי התלמידים, אלא יש להם משמעות אמיתית בחיי היומיום. דוגמה מצוינת לכך היא הקשר בין דרך, מהירות ותאוצה – המהירות היא הנגזרת של הדרך והאינטגרל של התאוצה. דוגמאות לכך תוכלו לראות ביישומון האדם בתנועה – קינמטיקה. דוגמה נוספת היא המושג "עבודה", שמייצג אינטגרל של כוח כפונקציה של דרך.
ראשית סמנו את האפשרויות Derivative ,Integral ,Grid ו-Cursor. כעת נבחר את האופציה Pedestal (בתפריט הגרפים מצד ימין, הלחצן הימני השני מלמעלה – דומה למעין מדרגה). בחרו נקודה בגרף האמצעי ומשכו אותה מעט למעלה. תקבלו מעין מלבן בגרף האמצעי. כעת התבוננו בגרף הנגזרת df/dx (הגרף התחתון). הנגזרת, כפי שתיארנו אותה, היא מגמת השינוי בפונקציה. כפי שאתם רואים, בתחילת המדרגה השינוי בקצב מאוד גבוה משום שגרף הפונקציה (f(x עולה בבת אחת. לאחר מכן קצב השינוי הוא אפס ושוב קצב השינוי קופץ בירידה חזרה מהמדרגה. שימו לב שכיוון השינוי הפעם הוא שלילי. אתם יכולים לשער מדוע?
כעת נתבונן בגרף האינטגרל (העליון). האינטגרל, כאמור, הוא השטח הכלוא מתחת לפונקציה. תראו שעד העלייה במדרגה השטח הוא אפס, במהלך ההתקדמות במדרגה האינטגרל עולה באופן ישר (ליניארי) ואחרי המדרגה האינטגרל נשאר קבוע אבל לא חוזר לאפס. הסיבה לכך פשוטה – היות שהאינטגרל מתאר שטח, ככל שנתקדם בפונקציה (f(x השטח המצטבר מתחת לפונקציה ילך ויגדל. היות שהצורה בפונקציה היא מלבן, ככל שנתקדם בו שטחה יגדל באופן קבוע (ישר). אחרי שנסיים לעבור את המלבן, השטח לא ימשיך לגדול (משום שהשטח הכלוא מתחת לפונקציה החל מהנקודה הזו יחזור להיות אפס), אבל השטח שכבר חושב עדיין קיים.
כעת בואו נתבונן באותה פונקציה מנקודת מבט מעט שונה: אמרנו בהגדרות שהפונקציה היא האינטגרל של הנגזרת, כלומר השטח הכלוא מתחת לגרף הנגזרת. בתחילת הנגזרת רואים קפיצה חדה למעלה ובסופה קפיצה חדה למטה. השטח הכלוא מתחת לקפיצה הזו הוא המלבן שלנו והקפיצה החדה למטה נותנת שטח זהה בגודלו ומנוגד בכיוונו (שלילי) על כן הוא "מקזז" את השטח של הקפיצה הקודמת ונותן לנו סך של אפס.
אמרנו גם שהפונקציה היא הנגזרת של האינטגרל, כלומר היא קצב השינוי של פונקציית האינטגרל. האינטגרל משתנה באופן ישר באזור המלבן ולאחר מכן מפסיק להשתנות. הפונקציה (שמראה את קצב שינוי האינטגרל) נותנת לנו ערך קבוע ושונה מאפס באזור המלבן, והוא גם השיפוע של אותו אזור באינטגרל (אתם מוזמנים לבדוק). אחרי המלבן, למרות שערך האינטגרל שנה מאפס, הוא קבוע ולכן השינוי בו הוא אפס – בדיוק כמו בפונקציה.
בואו נעשה כמה תרגילים קטנים:
אפסו את הפונקציה ובחרו באופציית Offset (הימנית התחתונה – קו ישר ומתחתיו קו מקווקו). האופציה הזו מרימה את כל הגרף כלפי מעלה. מה הנגזרת? מדוע? מה האינטגרל? מדוע?
אפסו את הפונקציה ובחרו באופציית Tilt (השמאלית ההתחתונה – קו זוויתי ומתחתיו קו מקווקו). האופציה הזו גורמת להסטה של כל הגרף בזווית כלפי מעלה. מה הנגזרת? מדוע? מה האינטגרל? מדוע?
שלבו את שלוש האפשרויות שבחנו (מדרגה, הרמה והסטה) וראו אם אתם מצליחים להסביר את הגרפים במושגים של שינוי קצב (נגזרת) ושטח כלוא (אינטגרל).
נסו את אופציית line (ימנית עליונה – מעין משולש). הסבירו את מה שאתם רואים באותו אופן כמו שעשינו את זה בדוגמה הראשונה.
ביישומון הזה למדנו מהם נגזרת ואינטגרל ומה משמעותם. תוכלו להשתמש בגרפים הללו כדי לתאר פונקציות שאתם נתקלים בהן בלימודיכם, ואולי להבין כך את הנושא טוב יותר.
שאלה למתקדמים: מה יהיה הערך המספרי של האינטגרל של פונקציה מחזורית כמו סינוס או קוסינוס?
ארז גרטי
המחלקה לכימיה ביולוגית
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
