קבוצה של מתמטיקאים קשישים מצויה במרוץ נגד הזמן כדי לשמר את ההוכחה של "המשפט הענק", על 15,000 עמודיה: משפט המחלק את המציאות לארבע
בקיצור
- ההוכחה הגדולה ביותר במתמטיקה תומכת ברעיון שאפשר לחלק את הסימטריה ביקום לארבע קטגוריות. 15,000 העמודים שלה מספקים את הראיה המכרעת למשפט מתמטי המוכר בשם "המשפט הענק".
- האנשים הספורים שמבינים את ההוכחה מזדקנים וחוששים שימותו לפני שדור חדש יתפוס את מקומם.
- מתמטיקאים יצאו למסע הצלה ללטש את ההוכחה ולהציל אותה כך שהידע האצור בה לא יאבד.
מגוון מזונות שנראה אין-סופי היה פרוש על שולחנות האוכל בביתם של ג'ודית ל' באקסטר ובעלה, המתמטיקאי סטיבן ד' סמית', בערב שישי צונן אחד בספטמבר 2011 בעיר אוק פארק שבאילינוי. כריכונים, כדורי בשר תוצרת בית, פלטות גבינה וחסילונים צלויים על שיפודים הצטופפו יחד עם מאפים, ממרחי בשר, זיתים, דגי סלמון עם שמיר וגבינת פֶטָה במעטה חציל. בגזרת הקינוחים נכחו בין השאר עוגת גבינת מסקרפונה בלימון ועוגת דלעת אפריקנית. השמש שקעה, השמפניה זרמה, ושישים האורחים, בערך מחציתם מתמטיקאים, אכלו ושתו ואז אכלו עוד קצת.
סעודת הענק הזאת הייתה הולמת למסיבה החוגגת הישג אדיר. ארבעה מן המתמטיקאים בארוחה, המארח סמית', מייקל אַשְבַּכֶר, ריצ'רד לַיוֹנְס ורונלד סולומון, בדיוק פרסמו ספר, שהעבודה עליו נמשכה 180 שנות אדם. הספר סוקר בהרחבה את בעיית החלוקה הגדולה ביותר בתולדות המתמטיקה.
לא נראה שהחיבור הזה יגיע לרשימת רבי המכר, והדבר אינו מפתיע בהתחשב בשמו: "מיונן של חבורות סופיות פשוטות". אבל בשביל אלגבראים הספר עב-הכרס המחזיק 350 העמודים הוא ציון דרך. ועדיין, על אף עוביו, החיבור הזה הוא רק תקציר של המיון המלא. ההוכחה בשלמותה תופסת כ-15,000 עמודים, אם כי ישנם כאלה המצמצמים את המספר לכ-10,000, והיא מפוזרת בין מאות מאמרים שפורסמו בכתבי עת שונים ונכתבו על ידי יותר ממאה חוקרים. לא מפליא אפוא שהמשפט שההוכחה שלו פרוסה לאורך אלפי העמודים האלה מכונה "המשפט הענק" (Enormous Theorem), אם כי המשפט עצמו פשוט למדי: ההוכחה היא זו שמגיעה לממדים כבירים. סעודת המלכים העצומה בביתו של סמית' הייתה דרך נאותה לכבד את פרסומו של הלווייתן המתמטי הזה. זוהי ההוכחה הארוכה ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה.
אבל ההישג הזה מצוי עכשיו בסכנה. החיבור שפורסם ב-2011 רק מתווה את קווי המתאר של ההוכחה. ההיקף חסר התקדים של התיעוד המלא שלה מעמיד אותו על סף גבול היכולת האנושית. "אינני יודע אם מישהו קרא את כולה," אומר סולומון בן ה-66, שחקר את ההוכחה במשך כל שנות הקריירה שלו. (הוא פרש מאוניברסיטת המדינה של אוהיו לפני שנתיים.) ייתכן שסולומון ושלושת המתמטיקאים האחרים שלכבודם נערכה המסיבה הם האנשים היחידים החיים כיום שמבינים את ההוכחה וגילם המתקדם מדאיג את כולם. סמית' הוא בן 67, אַשְבַּכֶר בן 71 ולַיוֹנְס בן 70. "אנחנו מזדקנים ואנחנו רוצים להעלות את הרעיונות האלה על הכתב לפני שיהיה מאוחר מדי," אומר סמית'. "אנו עלולים למות, לפרוש או לשכוח."
קרדיט: נייג'ל הולמס
ההפסד במקרה כזה יהיה, ובכן… ענק. אם לתמצת, ההוכחה מכניסה סדר לתורת החבורות, שהיא התחום המתמטי העוסק בסימטריה. והמחקר בנושא סימטריה הוא חיוני בשביל תחומים מדעיים כמו פיזיקה מודרנית של חלקיקים. המודל הסטנדרטי, אבן הפינה הפיזיקלית שמתארת את כל החלקיקים הקיימים ביקומנו, כאלה שהתגלו וכאלה שעדיין לא, מבוססת כולה על הכלים שמספקת תורת החבורות לתיאור סימטריה. רעיונות גדולים על תפקידה של הסימטריה בקני המידה הזעירים ביותר של הטבע עזרו לפיזיקאים לנסח משוואות שבהן השתמשו בניסויים שגילו חלקיקים יסודיים אקזוטיים. דוגמה מפורסמת לכך הם הקווארקים, ששילובים שלהם יוצרים את הפרוטונים והנויטרונים המוכרים לכולנו.
תורת החבורות גם הובילה את הפיזיקאים לרעיון המטריד שאפילו מסה, כלומר, כמות החומר המצויה בכל עצם כמו למשל המחשב הזה, אתם, כל דבר שאתם יכולים להחזיק ולראות, היא תוצאה של סימטריה מסוימת שנשברת ברמה בסיסית של הטבע. יתרה מזאת, הרעיון הזה הורה את הדרך לגילויו של החלקיק המדובר ביותר בשנים האחרונות, בוזון היגס, שיכול להתקיים רק כשסימטריה כלשהי מתערערת ברמה הקוונטית. אף על פי שהרעיון של בוזון היגס צמח מתורת החבורות כבר בשנות ה-60 של המאה ה-20, החלקיק עצמו התגלה רק ב-2012 בניסויים שנערכו במאיץ ההדרונים הגדול של CERN שעל יד ז'נבה.
סימטריה היא הרעיון שמשהו יכול לעבור שרשרת של התמרות, סיבוב, קיפול, שיקוף, הזזה בזמן, שאחריהן הוא נראה בדיוק אותו הדבר. סימטריה מסתתרת בכל מקום ביקום, מן התצורה של קווארקים ועד סידור של גלקסיות ביקום.
"המשפט הענק" מוכיח בקפדנות מתמטית שאפשר לפרק כל סימטריה ואז לשייכה לאחת מארבע משפחות שכל אחת מהן היא בעלת תכונות משותפות אחרות. בשביל תיאורטיקני חבורות, המתמטיקאים החוקרים סימטריה, המשפט הזה הוא הישג מקיף, יסודי וחשוב לא פחות מגילוי הטבלה המחזורית בשביל כימאים. בעתיד, ייתכן שהמשפט יוביל לתגליות עמוקות נוספות על המארג הבסיסי ביותר של יקומנו ועל טבעה של המציאות סביבנו.
אלא שהבעיה היא, כמובן, שההוכחה מבולגנת: המשוואות, המסקנות וההשערות שמרכיבות אותה מפוזרות בין יותר מ-500 מאמרים שהתפרסמו בעשרות כתבי עת שונים וחלקם קבורים בתוך כרכים עבי כרס, ושכולם מלאים בתמהיל של יוונית, לטינית ושאר האותיות שמשתמשים בהן בשפתה הדחוסה של המתמטיקה. לתוהו ובוהו הזה יש להוסיף את העובדה שכל מחבר ומחברת כתבו בסגנונם האישי הייחודי.
האי סדר הזה בעייתי מכיוון שאם כל חלק בהוכחה לא יֵשב בדיוק במקומו הנכון, המבנה כולו יפסיק להיות יציב. לשם השוואה, דמיינו את יותר משני מיליון האבנים שמהן מורכבת הפירמידה הגדולה של גיזה מפוזרות בצורה אקראית במדבר סהרה, כשרק קומץ אנשים יודע איך הן מתאימות זו לזו. בלי הוכחה נגישה ל"משפט הענק" יעמדו בפני המתמטיקאים של העתיד שתי אפשרויות הרות סכנה: פשוט לסמוך על נכונות ההוכחה בלי להבין את פרטיה, או לחלופין, להמציא את הגלגל מחדש. (אין מתמטיקאי שיהיה לו נוח עם האפשרות הראשונה, ואילו השנייה היא כמעט בלתי אפשרית)
כוח ההצלה (משמאל לימין): המתמטיקאים רונלד סולומון, ריצ'רד לַיוֹנְס, מייקל אַשְבַּכֶר וסטיבן ד' סמית' חוששים שאם לא ידאגו לגרסה מלוטשת של ההוכחה המפוזרת של "המשפט הענק", הם עלולים להיות האנשים האחרונים שמבינים אותה. קרדיט: סטאברוס דאמוס
המתווה שפרסמו סמית', סולומון, אַשְבַּכֶר ולַיוֹנְס ב-2011 הוא חלק מתכנית הצלה שאפתנית שמטרתה להנגיש את "המשפט הענק" לדור הבא של המתמטיקאים. "במידה מסוימת, רוב האנשים היום מתייחסים למשפט כאל קופסה שחורה," אומר סולומון בצער. רובה של תכנית ההצלה קורא לייצר הוכחה מלוטשת שתחבר את כל חלקיו השונים של המשפט. התכנית נהגתה לפני יותר משלושים שנה וכרגע היא מצויה רק במחצית הדרך.
אם יש משפט מתמטי חשוב, הוכחתו חשובה כפליים. ההוכחה היא שעושה את המשפט ראוי לאמון, ומאפשרת למתמטיקאי אחד לשכנע את רעהו, גם במרחק של יבשות או מאות שנים, בנכונותה של הצהרה מתמטית מסוימת. ההצהרות האלה מולידות השערות נוספות והוכחות נוספות וכן הלאה והלאה, כך שלשיתוף הפעולה שבליבה של המתמטיקה יש שורשים המשתרעים על פני אלפי שנים.
אינה קַפְדֶבּוֹסְק מאוניברסיטת וורוויק באנגליה היא אחת מן החוקרים הצעירים שצללו לתוך נבכי המשפט. בגיל 44, עם קול שקט וביטחון עצמי, היא פשוט זוהרת כשהיא מתארת את חשיבותה של ההבנה של איך בדיוק פועל המשפט הענק. "מה זה מיון? מה בכלל המשמעות של לקבל רשימה?" היא תוהה. "האם אנו יודעים מהו כל עצם ברשימה הזאת? אם לא, זה רק אוסף של סמלים."
הסודות העמוקים ביותר של המציאות
מתמטיקאים התחילו לחלום על הוכחת "המשפט הענק" כבר בשנות ה-90 של המאה ה-19, עם כינונו של תחום חדש במתמטיקה המכונה תורת החבורות [ראו מסגרת למטה]. "חבורה" במתמטיקה היא קבוצה של עצמים הקשורים זה לזה על ידי פעולה מתמטית כלשהי. אם מפעילים את הפעולה הזו על אחד מאיברי החבורה, התוצאה היא איבר אחר בחבורה.
סימטריות, כלומר הזזות שאינן משנות את צורתו של אובייקט מסוים, מתאימות בדיוק להגדרה המתמטית של חבורה. לדוגמה, הבה נחשוב על קובייה שכל פאותיה צבועות באותו הצבע. אם נסובב את הקובייה ב-90 מעלות, או ב-180 או ב-270, הקובייה תיראה בדיוק כפי שנראתה לפני שסובבנו אותה. גם אם נהפוך את הקובייה מלמעלה למטה, היא עדיין תיראה כמו שנראתה בהתחלה. אם נעזוב את החדר ונבקש מחבר לבצע סדרה של סיבובים והיפוכים על הקובייה, כשנחזור לא נוכל לדעת בשום אופן אילו פעולות הוא ביצע. בסך הכול, יש 24 סיבובים שונים שמותירים את הקובייה כפי שהייתה לפני הסיבוב. עשרים וארבעה הסיבובים האלה יוצרים חבורה סופית.
חבורות סופיות פשוטות הן אנלוגיות לאטומים. הן אבני הבניין היסודיות למבנים גדולים ומורכבים יותר. במקרה של חבורות סופיות פשוטות המבנים האלה הם חבורות סופיות גדולות יותר ומורכבות יותר. "המשפט הענק" מארגן את החבורות האלה באופן מקביל לדרך שבה הטבלה המחזורית מארגנת את היסודות. המשפט קובע שכל חבורה סופית פשוטה שייכת לאחת משלוש משפחות, או למשפחה רביעית של יצורי פרא. החבורה הסוררת הגדולה ביותר, המכונה "המפלצת", מכילה יותר מ-1053 איברים הקיימים ב-196,883 ממדים. (ואפילו יש תחום מחקר שלם המכונה מוֹנְסְטֶרוֹלוֹגיה, כלומר תורת המפלצת, שבו חוקרים מחפשים סימנים לקיומה של המפלצת הזאת בתחומים אחרים של המתמטיקה והמדע). ב-1830 כבר זוהו החבורות הסופיות הפשוטות הראשונות, ועד שנות ה-90 של המאה ה-19 מתמטיקאים פרצו דרכים חדשות למציאת עוד ועוד אבני בניין יסודיות כאלה. בשלב הזה גם התחילו החוקרים לחשוד שאפשר לסדר את החבורות הסופיות הפשוטות ברשימה אחת גדולה.
בראשית המאה ה-20 הניחו מתמטיקאים את היסודות של "המשפט הענק", אבל ליבה של ההוכחה התחיל לקרום עור וגידים רק באמצע אותה מאה. בין השנים 1950 ל-1980, פרק זמן שאותו כינה המתמטיקאי דניאל גורנשטיין מאוניברסיטת ראטגרס בשם "מלחמת שלושים השנה", קידמו התותחים הכבדים של המתמטיקה את תורת החבורות יותר מאי פעם, על ידי גילוי חבורות סופיות פשוטות וקיבוצן למשפחות. המתמטיקאים האלה לקחו חיבורים מתמטיים עבי כרס והניפו אותם כמו חרמשים אלגבריים שניכשו עשבים שוטים מופשטים וחשפו את היסודות העמוקים ביותר של הסימטריה. (פרימן דייסון מן המכון למחקרים מתקדמים באוניברסיטת פרינסטון שבניו ג'רזי, כינה את פרץ התגליות הזה של חבורות מוזרות ויפות "גן חיות מרהיב.")
אלו היו ימים סוערים: ריצ'רד פוּט, אז סטודנט לדוקטורט באוניברסיטת קיימברידג' והיום פרופסור באוניברסיטת ורמונט, ישב פעם במשרד טחוב וצפה בשני מתמטיקאים עיוניים מפורסמים, ג'ון תומפסון, כיום באוניברסיטת פלורידה, וג'ון קונוויי, כיום באוניברסיטת פרינסטון, דנים בלהט בפרטיה של חבורה מסורבלת במיוחד. "זה היה מדהים, הם היו כמו שני טיטאנים שברקים נעים בין מוחותיהם," אומר פוט. "נראה כאילו יש להם מאגר בלתי נדלה של שיטות מופלאות לגמרי ובלתי שגרתיות בעליל. זה היה עוצר נשימה."
בעשורים האלה הגיע המחקר לשתי אבני דרך חשובות בדרך להוכחת "המשפט הענק". ב-1963 הוכיחו המתמטיקאים וולטר פייט וג'ון תומפסון משפט שנתן מתכון למציאת חבורות סופיות פשוטות נוספות. אחרי פריצת הדרך הזו, סיפק דניאל גורנשטיין ב-1972 תכנית בת 16 שלבים להוכחת "המשפט הענק", פרויקט, שיסדר אחת ולתמיד את כל החבורות הסופיות הפשוטות במקומן. לשם כך היה צורך לרכז את כל החבורות הסופיות הפשוטות הידועות, למצוא את כל אלה החסרות, למיין את כל החלקים לקטגוריות המתאימות ולהוכיח שלא יכולות להיות קטגוריות אחרות. זו הייתה תכנית גדולה, שאפתנית ומרדנית, ולטענת אחדים, בלתי סבירה.
איש קטן, חזון גדול
אבל גורנשטיין היה אלגבראי כריזמטי והחזון שלו סחף אחריו קבוצה חדשה של מתמטיקאים, בעלי שאיפות לא פשוטות ולא סופיות, שרצו להותיר חותם. "הוא היה בעל אישיות גדולה מן החיים," אומר לַיוֹנְס, הפועל כיום באוניברסיטת ראטגרס. "הוא היה נמרץ באופן יוצא דופן בדרך שבה חשב על בעיות וחשב על פתרונות. והוא היה משכנע מאוד כששידל אנשים אחרים לעזור לו."
סולומון, שמתאר את המפגש הראשון שלו עם תורת החבורות כ"אהבה ממבט ראשון", פגש את גורנשטיין ב-1970. הקרן הלאומית למדע של ארה"ב אירחה סדנת קיץ במכללת בואודויין (Bowdoin) ובכל שבוע הוזמן מתמטיקאי מפורסם אחר לשאת הרצאה. סולומון, שהיה אז דוקטורנט, זוכר בבהירות את ביקורו של גורנשטיין. הידוען המתמטי, שהגיע היישר מבית הקיץ שלו באי מרתה'ס ויניארד, היה מחשמל הן בהופעתו החיצונית והן בבשורה שלו.
"מעולם קודם לכן לא ראיתי מתמטיקאי במכנסיים בצבע ורוד זועק," נזכר סולומון.
סולומון טוען שב-1972 רוב המתמטיקאים לא חשבו שההוכחה תושלם עד סוף המאה ה-20. אבל מקץ ארבע שנים, הסוף נראה באופק. גורנשטיין טען שאפשר במידה רבה לזקוף את ההאצה בהשלמת ההוכחה לזכותן של שיטותיו מעוררות ההשראה ולקצב הקדחתני של אַשְבַּכֶר, פרופסור במכון הטכנולוגי של קליפורניה ("קלטק").
סיבה אחת לגודלה העצום של ההוכחה היא ההנחה שנעשית בה, שרשימת החבורות הסופיות הפשוטות שהיא כוללת היא רשימה מלאה. כלומר, שהרשימה כוללת את כל אבני הבניין האפשריות ואין נוספות. לעתים קרובות, הוכחה שמשהו אינו קיים, כמו למשל הוכחה שלא קיימות חבורות נוספות, דורשת יותר עבודה מאשר הוכחה שהוא קיים.
ב-1981 הכריז גורנשטיין שהגרסה הראשונה של ההוכחה הושלמה, אבל התברר שהחגיגה הייתה מוקדמת מדי. צצה בעיה בחלק מסוים של ההוכחה, חלק סורר במיוחד של 800 עמודים, ונדרשו כמה וכמה דיונים עד שהבעיה באה על פתרונה בהצלחה. מדי פעם היו מתמטיקאים שטענו שמצאו פגמים בהוכחה או שמצאו חבורות חדשות שאינן מצייתות לחוקים. אבל עד היום אף אחת מן הטענות האלה לא הצליחה להביס את ההוכחה וסולומון אומר שהוא בטוח למדי שההוכחה תמשיך לעמוד.
גורנשטיין הבין די מהר שתיעוד ההוכחה הוא סבך מפוזר ובלתי מאורגן שנוצר עקב התפתחותה האקראית. הוא שכנע את לַיוֹנְס, וב-1982 גם את סולומון לשכתב את ההוכחה, כלומר לכתוב גרסה מאורגנת יותר ונגישה יותר שלה. מאוחר יותר התחילו להתייחס אל הגרסה הזאת כאל הדור השני של ההוכחה. מטרת הגרסה החדשה, אומר לַיוֹנְס, הייתה להתוות את הלוגיקה של ההוכחה ובכך לחסוך מן הדורות הבאים את הצורך להמציא מחדש את הטיעונים. בנוסף, אומר לַיוֹנְס, הגרסה החדשה שואפת לקצץ את 15,000 העמודים של הגרסה הקודמת לכדי 3,000 או 4,000 עמודים בלבד.
גורנשטיין ראה בעיני רוחו סדרה של ספרים שתאסוף באופן אלגנטי את כל הפיסות הפזורות של ההוכחה ותלטש את הלוגיקה שלה כך שיגוהצו ההבדלים הקטנים בין הפיסות השונות ויסולקו היתירויות שיש בהן. בשנות ה-80 ההוכחה הייתה נגישה רק לאותו קומץ חוקרים ותיקים שנטל חלק בניסוחה. המתמטיקאים האלה עמלו על ההוכחה במשך עשרות שנים ורצו לחלוק את עבודתם עם דורות העתיד. הדור השני של ההוכחה היה אמור לשכך את דאגתו של גורנשטיין שכל מה שיוותר מן המאמץ הכביר הזה יהיו ספרים עבי כרס שיצברו אבק בספריות.
גורנשטיין הלך לעולמו לפני שהפיסה האחרונה בהוכחה הוצבה במקומה וכמובן שלא נכח בהרמת הכוסית בביתם של סמית' ובאקסטר. הוא מת מסרטן ריאות בביתו שבמרתה'ס ויניארד ב-1992. "הוא מעולם לא הפסיק לעבוד," נזכר לַיוֹנְס. "ביום שלפני מותו היו לנו שלוש שיחות, כולן נסבו על ההוכחה. לא היו שום פרידות או משהו דומה, דיברנו רק 'תכלס'."
להוכיח מחדש
הכרך הראשון של הדור השני של ההוכחה יצא לאור ב-1994. הכרך הזה היה יותר מצגת מאשר טקסט מתמטי סטנדרטי והכיל רק שניים מתוך 30 החלקים המתוכננים להקיף את המשפט הענק כולו. הכרך השני פורסם ב-1996 והכרכים הבאים המשיכו להופיע עד עתה, הכרך השישי פורסם ב-2005.
פוט טוען שחלקי ההוכחה מן הדור השני מתאימים זה לזה טוב הרבה יותר מאשר אלה של הדור הראשון. "החלקים שפורסמו כתובים באופן קוהרנטי הרבה יותר והם מאורגנים טוב יותר," הוא אומר. "מנקודת מבט היסטורית, יש חשיבות לכך שההוכחה תהיה מרוכזת במקום אחד. ואם לא כן, במובן מסוים היא עלולה להפוך לאגדת עם: אפילו אם תאמינו שעשו את זה, אין לכם איך לבדוק זאת."
סולומון ולַיוֹנְס מסיימים בקיץ 2015 את הכרך השביעי וקבוצה קטנה של מתמטיקאים כבר החלה לעבוד על הכרכים השמיני והתשיעי. סולומון מעריך שההוכחה המלוטשת כולה תדרוש עשרה או אחד-עשר כרכים, כך שקצת יותר ממחציתה כבר פורסם.
אבל סולומון מעיר שגם אותם עשרה או אחד-עשר הכרכים עדיין לא באמת יכסו את הוכחת הדור השני כולה, מפני שגם הגרסה החדשה והמלוטשת כוללת הפניות לספרים נוספים ולמשפטים מתמטיים קודמים שהוכחתם מצויה במקומות אחרים. במובן מסוים, ההתפרסות הזו היא עדות לטבעה ההצטברותי של המתמטיקה: כל הוכחה היא תוצאה לא רק של הזמן שבה נכתבה, אלא גם של אלפי שנות מחשבה מתמטית שקדמו לה.
במאמר שפורסם ב-2005 בכתב העת Notices of the American Mathematical Society, המתמטיקאי א' בראיין דייוויס מקינגס קולג' בלונדון כתב ש"ההוכחה מעולם לא נכתבה במלואה, ייתכן שלעולם לא תיכתב במלואה, ובנוסח הנוכחי שמתכננים בשבילה לעולם לא תובן על ידי בן אנוש אחד." המאמר הזה העלה לפני השטח את הרעיון המטריד שמאמצים מתמטיים מסוימים עלולים להיות מורכבים יותר מדי בשביל בני תמותה. המילים האלה של דייוויס דחפו את סמית' ושלושת שותפיו לחבר יחד את הספר התמציתי באופן יחסי, אותו ספר שלכבוד פרסומו ארגנו את המסיבה שתיארנו בפתח המאמר הזה.
ייתכן שהבנת הוכחת "המשפט הענק" היא מעבר ליכולתם של רוב המתמטקאים, ואין צורך לומר חובבנים סקרנים, אבל העיקרון המארגן שלה מספק כלי רב ערך לעתיד. למתמטיקאים יש הרגל רב-שנים להוכיח אמיתות מופשטות עשרות שנים, לעתים מאות שנים, לפני שמוצאים להן שימוש מחוץ למתמטיקה.
"אחד הדברים שהופכים את העתיד למרגש הוא העובדה שקשה לנבא אותו," מאבחן סולומון. "ייתכן שבעתיד יופיעו גאונים עם רעיונות שלא עלו אצל איש בדורנו. תמיד קיים הפיתוי הזה, התקווה הזאת, החלום הזה, לחשוב שעדיין יש אי שם איזו הבנה עמוקה יותר משיש לנו."
הדור הבא
העשורים האלה של מחשבה עמוקה לא רק דחפו את ההוכחה קדימה; הם גם בנו קהילה. ג'ודית באקסטר, מתמטיקאית בהכשרתה, אומרת שתיאורטיקנים של תורת החבורות יוצרים בעצמם חבורה יוצאת דופן. "האנשים בתורת החבורות הם פעמים רבות חברים לכל החיים," היא טוענת. "אנחנו נפגשים בכנסים, מטיילים יחד, הולכים למסיבות יחד, זו באמת קהילה נפלאה."
שלא במפתיע, המתמטיקאים שהיו חלק מניסוח הדור הראשון של הוכחת "המשפט הענק" להוטים לשמר את הרעיונות המופיעים בה. זו הסיבה שסולומון ולַיוֹנְס גייסו מתמטיקאים אחרים שיעזרו להם לסיים את הגרסה החדשה של ההוכחה למען הדורות הבאים. אין זו משימה קלה: בתפיסתם של רבים מן המתמטיקאים מן הדור היותר צעיר, ההוכחה היא משהו שכבר הושלם והם מעוניינים לעסוק בדברים אחרים.
בנוסף, שכתוב של הוכחה שכבר קיימת דורש מין להט הרפתקני לתורת החבורות. סולומון מצא מישהי שמסורה לתחום כמוהו: קַפְדֶבּוֹסְק, אחת מקומץ מתמטיקאים צעירים יותר שנושאים את הלפיד עד לסיום הדור השני של הוכחת "המשפט הענק". היא התאהבה בתורת החבורות אחרי שהשתתפה בקורס בנושא אצל סולומון.
"אני זוכרת שהופתעתי לגלות שאני אוהבת לקרוא על הנושא ולפתור תרגילים. זה היה יפהפה," מספרת קַפְדֶבּוֹסְק. היא נלכדה סופית ברשת אחרי שסולומון ביקש ממנה לעבוד על חלקים של ההוכחה, חלקים שבסופו של דבר נכנסו לכרך השישי. הצורך ללטש את ההוכחה, היא אומרת, דוחף מתמטיקאים למצוא דרכים ישירות יותר לפתרון בעיות קשות.
קַפְדֶבּוֹסְק מדמה את המאמץ הזה לליטוש של טיוטה ראשונית. גורנשטיין, לַיוֹנְס וסולומון התוו את התכנית, אבל לדבריה, כעת זה התפקיד שלה ושל עוד כמה מתמטיקאים צעירים כמותה, לוודא שכל החלקים תואמים: "יש לנו מפת דרכים. אם נעקוב אחריה, ההוכחה כבר תגיע."
אפשר לפרק סימטריות למרכיבים בסיסיים. המרכיבים האלה קרויים חבורות סופיות פשוטות והן מתפקדות כמו יסודות בטבע, כלומר מתחברות בצירופים שונים וכך יוצרות סימטריות גדולות ומורכבות יותר. "המשפט הענק" מסווג את החבורות האלה לארבע משפחות. אף על פי שהוכחת המשפט עצומה בגודלה, המשפט המתמטי עצמו הוא לא יותר מהיגד יחיד המפרט את ארבע המשפחות: "כל קבוצה סופית פשוטה היא או חבורה ציקלית מסדר ראשוני או חבורת תמורות זוגיות או חבורה סופית פשוטה מטיפוס לי או אחת מ-26 החבורות הספורדיות הסופיות הפשוטות." להלן סקירה קצרה של המשפחות האלו: היו מאבני הבניין הראשונות שזוהו. אם נסובב מחומש משוכלל בחמישית מעגל, כלומר בזווית של 72 מעלות, נקבל מחומש שנראה זהה למקורי. אם נבצע את פעולת הסיבוב הזו חמש פעמים, נחזור למצב ההתחלתי. קבוצות ציקליות חוזרות על עצמן. לכל חבורה ציקלית סופית פשוטה יש מספר ראשוני של איברים. קבוצות ציקליות עם מספר זוגי של איברים שגדול מ-2, ניתנות לפירוק ולכן אינן פשוטות. הזוגיות נוצרות מחילופים בין איברים של קבוצה. חבורה מלאה של סימטריות כוללת את כל התמורות (ההחלפות) האפשריות. אבל חבורת תמורות זוגיות, כפי ששמן מרמז, כוללת רק מחצית מן ההחלפות האפשריות: אלה שיש בהן מספר זוגי של תמורות. לדוגמה, נניח שיש לנו קבוצה של שלושה מספרים: 1, 2 ו-3. קיימות שש דרכים שונות לכתוב את הקבוצה הזו: (3, 2, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (1, 3, 2), (2, 1, 3), ו-(1, 2, 3). חבורת התמורות הזוגית מכילה שלוש מן הדרכים האלה. מבחינת סימטריה, כל אחד מן הסידורים של הקבוצה יכול להתאים לשרשרת של פעולות משמרות סימטריה (כלומר, סובבו את הקובייה למעלה, ואז סובבו אותה על צידה, וכן הלאה). שנקראות על שמו של המתמטיקאי בן המאה ה-19 סופוס לי, הן כבר מסובכות יותר. הן קשורות לעצמים מתמטיים הקרויים חבורות לי אין-סופיות. חבורות לי אין-סופיות כוללות את סיבובי המרחב עצמו שאינם משפיעים על הנפח. לדוגמה, יש אין-סוף דרכים לסובב כעך מבלי לשנות את הכעך עצמו. המקבילות הסופיות של החבורות האין-סופיות האלה הן חבורות מטיפוס לי, במילים אחרות, הכעך בחבורה מטיפוס לי מאפשר רק מספר סופי של סיבובים. רוב החבורות הסופיות הפשוטות הן חבורות מטיפוס לי. יש לציין שחבורות לי משני הסוגים, סופיות ואין-סופיות, אינן מוגבלות לשלושת הממדים השגרתיים שלנו. אז אם אתם מעוניינים לדון בסימטריות של מרחב 15-ממדי, תעיפו מבט בחבורות האלה. יוצרות משפחה של מרדנים. הן כוללות 26 חריגים שאינם מתאימים במדויק לאף אחת מן המשפחות האחרות. (דמיינו שבטבלה המחזורית היה טור של יסודות "עברייניים"). החבורה הגדולה ביותר מן החבורות הספורדיות, המכונה "המפלצת", מכילה יותר מ-1053 איברים ואפשר לייצג אותה נאמנה ב-196,883 ממדים. היא מתמיהה ומוזרה ואף אחד לא יודע מה משמעותה, אבל היא מעוררת מחשבות מסעירות. "יש לי תקווה נסתרת, תקווה שאינה נתמכת על ידי שום עובדה או ראיה," כתב הפיזיקאי פרימן דייסון ב-1983, "שבזמן כלשהו במאה ה-21, פיזיקאים ייתקלו בחבורת המפלצת, משולבת בדרך בלתי צפויה כלשהי בתוך המבנה של היקום." ראשיתה של תורת החבורות כרוכה בטרגדיה. היא נולדה במאה ה-19 אצל אֶוַוריסְט גַלוֹאָה, מהפכן צרפתי חם מזג שתשוקתו להפיל את השלטון המלוכני בארצו הייתה שקולה רק לתשוקתו להרחיב את המתמטיקה ככל שיעלה בידו. בנעוריו חקר גַלוֹאָה דרכים חדשניות לפתרון משוואות, דבר שהוליך אותו למצוא קשרים בין תחומים שונים במתמטיקה. זאת כשלא היה בכלא. גַלוֹאָה היה מבריק, אך גם ביש מזל. הוא מת ב-1832 בגיל 20 אחרי שנפצע בבטנו מיריית אקדח בדו-קרב על רקע רומנטי. היסטוריונים שחקרו את הדו-קרב העלו השערות שונות על אודותיו: שהוא היה בעצם ניסיון לרצח, התאבדות מבוימת, או פשוט דוגמה טרגית לסכנותיה של אהבה נכזבת. אבל מחקר עדכני מעלה שרק אקדח אחד היה טעון ולא היה זה האקדח של הגאון הצעיר. "אמות כקורבנה של גנדרנית ידועה לשמצה ושני הפתאים שלה," כתב במכתב לילה לפני הדו-קרב. במכתב נוסף שחיבר באותו הלילה הוא פרס רבים מרעיונותיו על אודות חבורות. במשך 150 השנים שלאחר מכן, תורת החבורות עלתה כפורחת בזכות אותן מילים אחרונות של אדם בדרכו למות. בתוך כמה עשרות שנים היא נעשתה שדה מחקר בשל. חבורה במתמטיקה היא אוסף של עצמים הקשורים זה לזה באמצעות פעולה כלשהי. המספרים השלמים, למשל, יחד עם פעולת החיבור הם חבורה. סיבובים של צורה גאומטרית השומרים על צורתה גם הם חבורה [ראו המאמר הראשי]. בכימיה משתמשים בתורת החבורות לתיאור סימטריות בגבישים או במבנה מולקולרי, המספקות מפתח להבנת התכונות הפיזיקליות של חומר. ומקצת המתמטיקה המשמשת ליצירת צפנים (ולפיצוחם), כמו למשל הצפנת מפתח-ציבורי, תלויה בתורת החבורות. אחרי מותו של גַלוֹאָה מיהרו מתמטיקאים לבנות, לפרק, ולחקור חבורות. בתחילה הנושא נראה מופשט לגמרי, אבל בתחילת המאה ה-20 מצאה המתמטיקאית הגרמנייה אמי נֶתֶר קשר בין סימטריה, כלומר, תורת החבורות, ובין חוקי השימור של הפיזיקה. (למשל, אי אפשר ליצור או להעלים אנרגיה.) עבודתה המבריקה סללה את הדרך לפיזיקאים עיוניים שהחלו להשתמש בתורת החבורות כדי להבין טוב יותר את הסימטריות המתארות חלקיקים יסודיים וגם לחזות את קיומם של חלקיקים חדשים שלא נצפו עד אז. תורת החבורות פרצה מחוגיהם של יודעי ח"ן והפכה לכלי רב עוצמה להבנת מארג המציאות סביבנו. ארבע משפחות ענק
חבורות ציקליות
חבורות התמורות
חבורות מטיפוס לי
חבורות ספורדיות
המתמטיקה של יצירת קשרים
לקריאה נוספת
