תדר על פני נהר

גשרים הם מבנים הנדסיים מורכבים שנועדו לאפשר מעבר מעל מכשולים כמו נהרות ועמקים. גשרים קיימים כבר אלפי שנים בצורה זו או אחרת, החל בגזעי עץ שהופלו מעל נחלים וכלה בגשרים תלויים שאורכם כמה קילומטרים, כמו גשר שער הזהב המפורסם בסן פרנסיסקו.

הגשרים הקדומים ביותר הידועים נבנו כבר במאה ה-13 לפני הספירה ביוון, ומאז השיטות התקדמו והשתכללו. אך גם היום בניית גשר היא משימה הנדסית מורכבת, ולא פעם גשרים כושלים ונופלים בגלל ליקויים בתכנון ובבנייה או טעויות אנוש אחרות.

בתכנון גשר יש להתייחס לעומס שיהיה עליו ולכוחות שיופעלו עליו. כוחות לחיצה ומתיחה פועלים להאריך את הגשר או לדחוס אותו בכיוונים שונים. כוחות כיפוף ופיתול פועלים לסובב את המבנה, וכוחות גזירה מאיימים עליו כשבנקודה אחת פועלים כוחות בכיוונים הפוכים.

העומס על הגשר מורכב בחלקו ממשקלו של המבנה עצמו ובחלקו מעומס כלי הרכב והאנשים העוברים עליו. המתכננים גם צריכים להתייחס לעומס הדינמי שעלול להפעיל עליו כוחות חיצוניים בלתי צפויים, כמו רעידות אדמה ורוחות חזקות. 

מרכיב חשוב נוסף בתכנון גשר הוא תדרי התהודה העצמית שלו. זו תופעה שכל ילד מכיר מקפיצה בחבל: כשמתחילים לשחק צריך ניסיון או שניים כושלים של סיבוב החבל, עד שמוצאים את הקצב המתאים והחבל מסתובב בקלות. קצב הסיבוב ה"נכון" הוא תדר התהודה העצמית של החבל. כמעט לכל מערכת יש תדר תהודה עצמי אחד או יותר, בהתאם לתנועות השונות האפשריות בה.

גם לגשר יש תדרי תהודה עצמית המתאימים לסוגי התנועות האפשריים בו: פיתול, כיפוף, מתיחה וכדומה. התדרים האלה תלויים באורך הגשר, במבנה שלו, בחומרים שמהם הוא עשוי ועוד. אם גורם חיצוני משפיע על הגשר באחד מתדרי התהודה העצמית שלו, אנחנו נראה תגובה חזקה מאוד שעלולה להוביל אפילו לקריסתו.

הגשר המתנדנד של טקומה

מקרה מפורסם אחד הוא נפילתו של גשר טקומה בשנת 1940, ארבעה חודשים בלבד אחרי שנפתח לתנועה. זה היה גשר תלוי שעבר מעל מצר מים באורך של 1,800 מטר, שחיבר שתי ערים במדינת וושינגטון שבארצות הברית.

גשר תלוי מורכב משני מגדלים או יותר שביניהם מתוחים שני כבלים עבים, בדרך כלל עשויים פלדה. כבלים דקים יותר יורדים מהם למטה ומחזיקים את המשטח לכל אורכו. הכוחות העיקריים הפועלים על גשר תלוי הם כוחות המתיחה הפועלים על החוטים והכבלים, וכוחות לחיצה הפועלים על העמודים. מאחר שמשטח הגשר מוחזק רק על ידי הכבלים, גשרים כאלה עלולים להתנדנד כשהרוחות חזקות מספיק.

כבר בימים הראשונים אחרי פתיחתו היה ברור שמשהו בגשר טקומה איננו תקין. רוחות היו מנדנדות אותו לכל אורכו, ומשטח הגשר היה עולה ויורד בתנועה גלית אטית. גובה התנודות היה מגיע לעתים אפילו לשלושה מטרים. עם זאת, הפגיעה במבנה הייתה קטנה והמהנדסים סברו שהגשר יציב מספיק.

7 בנובמבר 1940 היה יום עם רוחות חזקות, שהגיעו עד 65 קמ"ש. הרוחות הגבירו מאוד את התנודות, עד שאחד הכבלים שעליהם היה תלוי הגשר נקרע. בן רגע החל הגשר להתפתל בצורה חזקה מאוד בהשפעת הרוחות העזות והסתובב על צדו עד לזווית של 30 מעלות ולגובה של 10 מטרים. לאחר כשעה של תנודות פיתול כאלה הגשר התמוטט ונפל לנהר.

בתחילה חשבו שהגשר קרס מפני שהרוחות הניעו אותו בתדירות התהודה העצמית שלו, ולכן התנודות גדלו והתחזקו. מחקרים שבדקו דגמים קטנים של הגשר בתוך מנהרות רוח הראו שהתנודות נבעו ממערבולות אוויר וממשוב חיובי של הגשר שהגביר אותן.

משוב חיובי קורה כאשר הפרעה למערכת גוררת תגובה שמגבירה את ההפרעה. זו תופעה נפוצה ואפשר לשמוע אותה כמעט בכל הופעת רוק חיה כשהגיטריסט או הזמר מתקרבים לרמקולים, ואז כל רעש שהם יצרו במיקרופון נשמע ברמקול. מאחר שהמיקרופון קרוב לרמקול, הרעש נקלט במיקרופון שוב ומוגבר, וכן הלאה. כך נוצר משוב חיובי (פידבק) שמחזק רעשים קטנים והופך אותם לצפצוף מחריש אוזניים, בדרף כלל של צלילים גבוהים.

דבר דומה קרה בגשר טקומה. הרוח שעברה על פני הגשר יצרה מערבולות, שבהן יש תנועת אוויר מהירה שגורמת לשינוי בלחץ האוויר. השינוי הזה גרם לגשר להתפתל מעט, וההתפתלות עצמה יצרה מערבולות חזקות יותר, שפיתלו אותו עוד ועוד עד שהתמוטט. אולי נשמע דמיוני שגשר בטון ופלדה יתנדנד כמו ענף ברוח, אבל משוב חיובי יכול להגביר כל הפרעה קטנה לגדלים עצומים.

סרטון של קריסת הגשר במיצר טקומה (בראש העמוד: הגשר אחרי הקריסה | צילום: Science Photo Library)

הלקח לא נלמד

למרות מחקרים רבים שכבר נעשו בנושא, גם בימינו קורה שגשרים מתנדנדים בעוצמה בגלל תכנון לקוי או משוב חיובי שלא נצפה מראש. כך היה למשל בגשר המילניום בלונדון, שהחל להתנדנד מצד לצד ביום פתיחתו בשנת 2000 כשצעדו עליו אלפיים אנשים בתדר קרוב לתדירות התהודה העצמית שלו.

כשהקהל חש את הגשר מתנדנד הוא ניסה לשנות את קצב הליכתו כדי להתגבר התנודות, אך בדיעבד התברר שהצועדים דווקא הסתנכרנו עוד יותר בהליכתם ויצרו כך משוב חיובי שהגביר את התנודות. הגשר נסגר מיד ונפתח שוב רק כעבור שנתיים, לאחר שתוקנו הליקויים.

כדי למנוע את התגברות התנודות מוסיפים לגשר כוחות חיכוך. אפשר לעשות זאת בכמה דרכים. למשל, באמצעות משככים שסופגים את התנועה, או שמחלקים את הגשר לכמה משטחים כך שבמעבר בין משטח למשטח יש חיכוך והגלים לא יכולים להתקדם לכל אורכו של המבנה ולמוטט אותו.

משקולת ענקית סופגת את האנרגיה ומונעת טלטלות של הבניין. מגדל טאיפיי 101 בבירת טאייוואן | צילום: peellden, ויקיפדיה

תנועת הבניינים

לא רק גשרים נוטים לנוע ברוח, גם בניינים עושים את זה, ובמיוחד גורדי שחקים. המבנים עצמם יציבים מספיק כדי לעמוד בתנודות חזקות, אך אף אחד לא ירצה להיכנס לבניין בגובה של כמה מאות מטרים שנוטה להתנדנד.

כדי לייצב את המבנה אפשר לבנות לו שלד חזק ועמיד יותר, שיקשיח את המבנה ויקשה עליו להתנדנד. דרך נוספת היא להעביר את האנרגיה של הנדנוד לגוף אחר, כך שהבניין יישאר ללא תנועה.

כך עושים בבניין טאיפיי 101 שבטאיוואן. בתוך הבניין, בין קומה 87 לקומה 92, תלויה מטוטלת ענקית שמשקלה 660 טונות. תדירות התהודה העצמית של המטוטלת מתאימה לזו של הבניין, ומכיוון שהמטוטלת מחוברת לבניין העברת האנרגיה ביניהם יעילה מאוד. כשהרוח מטלטלת את הבניין האנרגיה מועברת למטוטלת, ותנודות המבנה דועכות. זה קורה בזכות כוחות חיכוך שפועלים על המטוטלת.

התהודה והמשוב החיובי אינם תופעות חדשות בפיזיקה ואפשר להבין אותן באמצעות חוקי המכניקה הניוטונית הפשוטה. אלא  שטעויות עדיין קורות, ומבנים מורכבים כמו גשרים או גורדי שחקים דורשים תכנון ומחשבה עמוקה.