מה הקשר בין בית המקדש, ארכימדס, מחט ושיא גינס? כולם שזורים בסיפורו של המספר פאי, שהיום מציינים בעולם את חגו
במקומות רבים בעולם מציינים ב-14 במרץ את "יום הפאי", או "יום המתמטיקה", משום שהתאריך בכיתוב המקובל בשיטה האמריקאית, 3.14, הוא המספר פאי בדיוק של שני מקומות אחרי הנקודה. התאריך הזה הוא גם יום הולדתו של אלברט איינשטיין (1879), והנה סיבה כפולה למסיבה. אז קדימה! נביא לכם היום את הפאי – לא העוגה הפריכה עם מילוי שוקולד (טוב, אולי קצת גם אותה), אלא המספר פאי.
פאי, המסומן באות היוונית π הוא מספר חמקמק המבטא את היחס בין היקף המעגל לקוטרו. מדוע חמקמק? משום שפשוט אי אפשר לחשב אותו במדויק. זה לא הפריע בשנת 2015 לרג'ביר מינה (Meena) מהודו להיכנס לספר השיאים של גינס לאחר שדקלם בעל פה את 70 אלף הספרות הראשונות אחרי הנקודה.
כבר לפני אלפי שנים ידעו מתמטיקאים ופילוסופים שכאשר מודדים היקף של מעגל ומחלקים אותו בקוטר מקבלים מספר קבוע, שגדול במעט מ-3. אולם כל ניסיונותיהם לחשב את המספר במדוייק עלו בתוהו. הם חשדו שאי אפשר בכלל לחשב את פאי בדיוק סופי, ואכן המתמטיקאי השוויצרי יוהן היינריך למברט (Lambert) הוכיח ב-1772 שהחיפוש אחר הדיוק הסופי נדון לכישלון.
פאי הוא מספר אי-רציונלי (וטרנסצנדנטלי). אי אפשר לבטא את פאי כשבר של מספרים שלמים, יש לו אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית, והן אינן מסודרות באופן הגיוני או מחזורי. הדרך היחידה האפשרית לרשום את פאי כמספר היא כשבר עשרוני עם ספרות עד למקום שרירותי ואח״כ שלוש נקודות, לדוגמה:
…3.1415926535897932384626433832795028841971
שלוש הנקודות בסוף המספר מסמנות שהמספר ממשיך עד אינסוף.
עד היום חושבו יותר מ-1013 ספרות (עשרה מיליון מיליונים) אחרי הנקודה העשרונית. הסיבה שממשיכים בכל זאת לחשב ספרות של פאי, אף על פי שלכל היותר נוכל להתקרב למספר מדויק יותר, היא השימושים הרבים שלו בפיזיקה המודרנית – בקוסמולוגיה ובתורת הקוונטים.
הפאי הקדוש
ההיסטוריה של ניסיונות החישוב של פאי מרתקת. פרשני התנ"ך הציעו חישוב המבוסס על מידותיו של כיור המכונה "ים" שעמד בבית המקדש הראשון. מידות הכיור, 30 אמה היקפו ועשר אמות קוטרו (אמה היא בערך 45 ס"מ), מופיעות בספר מלכים א', פרק ז': "ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגול סביב וחמש באמה קומתו וקוה שלשים באמה יסב אתו סביב". ניסוח כמעט זהה מופיע בדברי הימים ב' (פרק י"ד), אבל שם המילה קוה מוחלפת בצורה הקצרה קו.
לפי הפסוקים עצמם עולה שערכו של פאי צריך להיות 3. הגאון מווילנה, שחי בתקופתו של למברט וכבר ידע כנראה שפאי הוא מספר אי-רציונלי, מצא קירוב טוב יותר בעזרת ההבדל בין הפסוקים. הוא חילק את הערך הגימטרי של המילה קוה בזו של המילה קו (111/106), הכפיל את התוצאה (1.04716981) בשלוש, וקיבל ערך קרוב לפאי, 3.14150943, שיפור ניכר מהחישוב המקורי בתנ"ך.
אף שלסיפור החביב הזה אין כמובן שום חשיבות מתמטית, הוא מדגים עד כמה העסיק חישוב גודלו של פאי מדענים ואנשי רוח מתחומים שונים ומגוונים.
עומדים בטור
מלומדים סינים בעת העתיקה פיתחו שיטה לחישוב פאי באמצעות מצולע משוכלל החסום במעגל. אם מחשבים את היחס בין היקף המצולע לקוטר המעגל, מקבלים ערך קרוב יותר לפאי ככל שיש למצולע יותר צלעות. מתמטיקאי מפורסם שחישב את פאי בשיטה דומה היה המלומד היווני ארכימדס, שאהב מאוד מעגלים ואף שילם על כך בחייו. האגדה מספרת שחיילים רומאים הרגו אותו בעת שצייר מעגלים בחול על חוף סיציליה, משום שגער בהם על כך שדרכו על המעגלים.
ארכימדס ניסה למצוא גבולות עליונים ותחתונים לערך האפשרי של פאי. הוא חסם מעגל במצולע מבחוץ, וחסם בתוכו מצולע. כך גילה שערכו של פאי מצוי בין המספרים: 3.1429 ו- 3.1408. המתמטיקאי הצרפתי בן המאה ה-16, פרנסואה וייט (Viète) ומתמטיקאים נוספים המשיכו את שיטתו של ארכימדס. וייט השתמש לשם כך במצולע של 393,216 צלעות!
החיפוש אחר חישוב מדויק של פאי הביא גם לכמה חישובים מוזרים. המתמטיקאי האנגלי בן המאה ה-17 ג'ון ווליס (Wallis) מצא למשל שחצי פאי שווה למכפלה אינסופית של מספרים זוגיים כפולים חלקי מכפלה אינסופית של מספרים אי-זוגיים כפולים:
בין הקווים
במאה ה-18, המדען הצרפתי ז'ורז' לואי לקלרק, המכונה הרוזן בופון (Buffon), מצא קשר מעניין בין פאי להסתברות. בופון שרטט על נייר כמה קווים מקבילים שהמרחק ביניהם הוא אורכה של מחט תפירה. הוא השליך חופן מחטים על הדף ובדק כמה מהן נוגעות בקווים. בופון נדהם לגלות כי היחס בין מספר המחטים שנגעו בקווים לאלה שנפלו ביניהם היה π/2. ככל שמשליכים יותר מחטים מקבלים ערך מדויק יותר של פאי. המתמטיקאי האיטלקי לצאריני (Lazzarini) עשה ב-1901 את הניסוי עם 3,048 הטלות של מחטים, וקיבל את הערך של פאי בדיוק של שש ספרות אחרי הנקודה.
השיטות המודרניות לחישוב פאי מבוססות על חישוב סכום של טור אינסופי של מספרים. ככל שמחברים יותר איברים (מספרים) בטור, מקבלים ערך מדויק יותר של π. למשל, המתמטיקאי הגרמני גוטפריד וילהלם לייבניץ (Leibniz) חישב פאי לפי הטור האינסופי:
טורים דומים משמשים עד היום בחישוב הערך של פאי במחשבים ומחשבונים.
האם יש עדיין עניין למתמטיקאים במספר פאי עצמו, מעבר להגדלת הדיוק שבחישוב? ועוד איך! יש שאלות רבות שמתמטיקאים מנסים לפתור בנוגע לפאי. טרם הוכח מתמטית, למשל, אם כל אחת מהספרות (9-0) מופיעות אינסוף פעמים ברצף האינסופי שאחרי הנקודה. עדיין לא ידוע אם יש ברצף המספרים הזה גם רצף אינסופי של אפסים.
לא נשכח את השיטות הרבות שיש כדי לסייע לזכור בעל פה את ערכו של פאי. השיטה החביבה עלי היא לזכור את המשפט הבא: "ילד א' וילד ב' מהחוג לביולוגיה הם תאומים שלמדו יחד דברים מעניינים בביולוגיה". מספר האותיות בכל מילה הוא בדיוק הספרות של פאי.
