המה, הלמה והלמה לא:
נימוקים במתמטיקה

יושב אדם ולומד דבר מה במתמטיקה: קורא או שומע טיעון מתמטי. עליו להתמודד כמובן עם המתמטיקה עצמה, אבל זה לא מספיק – עליו להבין גם את סוג הטיעון שמונח לפניו. מתברר שזה בכלל לא מובן מאליו. כי כשמנסים להסביר למה משהו במתמטיקה נכון, יש ארבע דרכים שונות לחלוטין לעשות את זה. כדי להבין אותן צריך לדבר על לוגיקה, ובפרט על טענות "אם –> אז".

אנחנו מכירים משפטים כאלה מחיי היומיום: "אם אין קמח – אין תורה", "אם אתה יווני – אתה בן תמותה", וכן הלאה. מתי אפשר להגיד שטענות כאלה נכונות ומתי לא? קחו לדוגמה את המשפט "אם תבואו מחר בחצות אל הגשר – תפגשו טרול". האם הוא נכון? התשובה משתנה מתרחיש לתרחיש. אם באנו אל הגשר וראינו טרול, הטענה הייתה נכונה. קרה בדיוק מה שאמרו לנו שיקרה. גם אם באנו אל הגשר ולא ראינו טרול, עדיין הכול ברור. שיקרו לנו – הבטיחו, אבל לא הבטיחו לקיים. 

השאלה המעניינת באמת היא מה קורה אם לא באנו אל הגשר. במקרה הזה, לא משנה אם פגשנו טרול או לא. ברגע שלא הלכנו אל הגשר בחצות, הטענה נכונה מבחינת המתמטיקה. מדוע? יש כמה תשובות.

תשובה ראשונה: כי ככה אמרנו

המתמטיקה מתמודדת עם סוגיות כאלה בעזרת "טבלאות אמת". היא מתבוננת על כל הטענות מהסוג הזה ואומרת שהן טענות מסוג "אם p אז q". נכונות הטענה תלויה כמובן במרכיביה, על פי הטבלה. במקרה שבו לא באנו לגשר ה"אם", כלומר ה-p, הוא שקר (F), כפי שאפשר לראות בשורה הראשונה ובשורה השלישית – ובשני המקרים התוצאה היא אמת (T)

זה כל הנימוק. למה? כי ככה זה מוגדר. קצת מוזר לחשוב על הגדרה כעל נימוק. אבל במתמטיקה זה לגמרי עובד. למה הגדירו את זה ככה? זאת בהחלט שאלה מעניינת, ומיד אנסה לענות גם עליה. אבל ראשית נעצור להעריך את סוג הנימוק הראשון במתמטיקה: נימוק מתוך הגדרה.

בתחילת פרקים בספרי לימוד במתמטיקה נהוג לא פעם לכתוב בצורה ברורה: "הגדרה:" ואז מגדירים למשל מה זה מלבן. אבל לפעמים אנחנו פוגשים את ההגדרות באמצע טיעון. במקרים כאלה הן לא באות בצורה מפורשת, אלא כמו שקרה לנו קודם. כנימוק. כתשובה לשאלה "למה?".

כמעט כל המתמטיקאים ששאלתי אותם את השאלה "למה זה יוצא אמת?" ענו "ככה זה מוגדר". כלומר, זה מה שהם ענו אחרי שבהו בי קצת ותהו אם האומלל שמולם סובל מנזק מוחי, כי הוא בבירור שואל שאלות חסרות טעם.

למה? כי ככה זה מוגדר. ההגדרה המילונית של "הגדרה" | צילום: Vitezslav Vylicil, Shutterstock

תשובה שנייה: הסברים חשובים מאוד וחסרי ערך

האינטואיציה תופסת במתמטיקה מקום חשוב לא פחות מהגדרות, אבל תפקידה מתחיל ומסתיים מאחורי הקלעים. אין לה מקום במתמטיקה הפורמלית. ועדיין, אי אפשר בלעדיה. האם יש אינטואיציה כלשהי שבגללה ההגדרה היא כמו שהיא?

חישבו לרגע על טענות "אם –> אז" כהבטחות בחירות. "אם אבחר לראשות הממשלה – אמגר את הפשיעה". איתרע מזלי ולא נבחרתי. האם אפשר להאשים אותי שהפרתי את ההבטחה? ששיקרתי? ודאי שלא. מבחינתי דיברתי אמת, וקיימתי את כל ההבטחות שלי. כלומר אנחנו לא חושבים על "אם –> אז" בתור קשר של סיבה ותוצאה, אלא בתור "אם" היפותטי, ואם הוא לא קרה בסוף – הכול בסדר.

נכון, זאת לא מתמטיקה. אין לנו כאן "טיעון מתמטי", ואי אפשר לנמק בעזרתו טענות מתמטיות. אבל מי שעושים מתמטיקה ולומדים אותה הם בני אדם, ולא כולם מיומנים בחשיבה הפורמלית. כיום אנחנו מצפים שמיליוני בני אדם יידעו לעשות פעולות מתמטיות שרק לפני 300 שנה פחות ממאה איש בכל העולם ידעו לעשות. לשם כך אנחנו חייבים לבנות על אינטואיציה כלשהי.

לא כל אינטואיציה טובה לכל אחד ולא כל הסבר יעזור לכולם. אבל בסופו של דבר כולם צריכים אינטואיציה כזו או אחרת, אפילו המתמטיקאים הכי מתמטיים שיש. כך שהמתמטיקה חייבת את האינטואיציה – אבל רק כגלגלי עזר. בסוף, בתצוגה הסופית והרשמית, אין לה מקום. לכן ההסבר הזה חשוב מאוד – וחסר ערך.

לא מדובר בהכרח בכיוונים מנוגדים, האינטואיציה יכולה דווקא ללכת עם ההיגיון | איור: Pixelvario, Shutterstock

תשובה שלישית: בזכות חד-הקרן

הסברים עוזרים לנו להבין טוב יותר מה אנחנו אומרים. הסברים ואינטואיציות יכולים לסייע לנו גם בבואנו לפתור בעיות ולהפעיל את המתמטיקה. אבל הם עדיין לא ממש עוזרים לנו להבין למה. וה"למה" הזה מבטא לפעמים לא רק סקרנות או עניין, אלא חוסר אמון ממש. כי יש במתמטיקה מרכיבים שעובדים ממש נגד האינטואיציה של חלקנו, ואנחנו זקוקים למשהו משכנע.

אין בהכרח קשר בין להבין לבין להשתכנע. אני משוכנע לחלוטין שאם אלחץ על כפתור השלט הטלוויזיה תידלק, גם אם אין לי מושג איך זה קורה. ואני יכול להבין היטב את טיעוניו של חבר כנסת בלי להשתכנע מהם כהוא זה. ככה זה גם במתמטיקה.

ניקח את הטענה "אם אתם חד-קרן – אז אתם ורודים". גם זאת טענה של "אם –> אז", ושוב הרישא שלה שקרית. הרי אף אחד מכם אינו חד-קרן. אותו כלל שנכון למקרה הכללי אמור להיות נכון גם למקרה המסוים הזה, ולכן נבדוק אותו. אנסה לשכנע אתכם שבמקרה הזה, של חד-הקרן, הטענה חייבת להיות נכונה.

בשלב הראשון עלינו להבין טוב יותר את המצב שלפנינו: אנחנו מדברים על הטענה "אם אתם חד-קרן – אז אתם ורודים", וההנחה שנניח היא לא רק שאתם לא חד-קרן, אלא שאין בעולם חדי-קרן בכלל. זה לא משנה לנו שום דבר מהותי בהקשר לבחינת הטענה שלנו – הטענה היא אותה טענה ואתם עדיין אינכם חד-קרן. אם כן, עברנו להתבונן בטענה "אם אתם חד-קרן – אז אתם ורודים" (כאשר אין בעולם חדי-קרן), ואני צריך לשכנע אתכם שבמקרה הזה הטענה נכונה.

בשלב השני ניקח בחשבון שהטענה "אם אתם חד-קרן – אז אתם ורודים" לא מופנית באמת רק אליכם. היא מדברת על כל מי שהוא חד-קרן. ומה היא אומרת לחדי-הקרן? שהם ורודים. כלומר, נוכל לנסח את אותה טענה קצת אחרת, ולהגיד "כל חדי-הקרן הם ורודים". ברור שאחת הטענות לא יכולה להיות נכונה כשרעותה שגויה. הן נכונות או שגויות ביחד.

נשאר עוד מהלך אחד אחרון. אם "כל חדי-הקרן הם ורודים" אזי "אין אף חד קרן שאינו ורוד, למשל סגול". אבל כבר אמרנו שאין בעולם חדי-קרן בכלל, וזה נכון לכל הצבעים. על כן הטענה "אין אף חד-קרן סגול" היא נכונה. עכשיו נחזור אחורה. אם זה נכון, אז הנוסח הקודם נכון, וגם הנוסח שלפניו.

בום. בכל שלב הסכמנו שערך האמת לא משתנה. שלהגיד "אם אתם חד-קרן – אז אתם ורודים" (כשאינכם חד-קרן) שקול ל"כל חדי הקרן הם ורודים" (כאשר אין בכלל חדי קרן), וגם ל"אין חד-קרן סגול" כשאין בכלל חדי-קרן. וזה נכון. אמת ויציב.

לטובת הקוראים המדקדקים, נציין במפורש את שלוש ההנחות שהשתמשנו בהן כאן. אם אינכם מהמדקדקים, אתם מוזמנים לדלג לתשובה הבאה.

א. טענות "אם A אז B" פועלות כמו טענות "אם a שייך לקבוצה A אז b שייך לקבוצה B". זה מה שמאפשר את המעבר משלב 2 לשלב 3, שהוא לב העניין.

ב. מקרים לא נכונים נקודתית פועלים כמו מקרים לא נכונים קטגורית – במעבר לשלב 2.

ג. אנחנו מגדירים "אמת" על פי קיום. טענה אמיתית היא טענה שאומרת שדבר שקיים אכן קיים – או טענה שקולה לה.

כל אחת מההנחות הללו סבירה מאוד, אבל לא ממש חייבת להיות נכונה, ואכן מאמרים וספרים שלמים נכתבו על כל אחת מהן.

האם זה משנה שלא כל חדי הקרן הם ורודים, אם אין בכלל חדי קרן? חדי קרן בשלל צבעים | איור: Danilo Sanino, Shutterstock

תשובה רביעית: הוכחות, ומה הן לא עושות

התשובה הקודמת היא עדיין לא מתמטיקה ממש. זו לוגיקה "של פילוסופים". כשם שהגדרה אינה הסבר, והסבר אינו שכנוע, אף אחד מהם אינו הוכחה.

לכאורה הוכחה היא פסגת הטיעון המתמטי, התרומה הכי גדולה של המתמטיקה לחשיבה האנושית. אבל במקרים רבים הוכחות לא מסבירות לנו דבר ולא משכנעות בשום דבר. הן פשוט שם. וזה בסדר. הוכחות אינן הסבר ואינן שכנוע – הן מהלך שלא מותיר ברירה אלא לקבל את המסקנה, כיוון שקיבלת את הנחות היסוד. הן לא ממש טיעון ל"למה כן", אלא "למה אין ברירה אלא להיות כך".

אז הנה ארבע הנחות הגיוניות שנקבל על עצמנו:

א. ההגדרה של "אם A אז B" צריכה להתיישב עם האינטואיציה החזקה שיש לנו במקרה שבו A נכון.

ב. אנחנו מקבלים על עצמנו יחס לוגי מאוד אינטואיטיבי: "אם ורק אם", שאומר ששתי טענות הן שקולות, כלומר שהן אותו דבר.

ג. להגיד "A אם ורק אם B" זה כמו להגיד "אם A אז B" וגם "אם B אז A".

ד. היחס "אם –> אז" אמור להיות שונה מהיחס "אם ורק אם". הרי אחרת אין ממש טעם לדבר על שני יחסים שונים, נכון?

ארבע ההנחות הללו מחייבות אותנו למלא את טבלת האמת של "אם –> אז" כפי שעשינו בהתחלה. הבה נתחיל.

הנחה א׳ אומרת שכאשר ה"אם" נכון – יש לנו אינטואיציות מאוד ברורות ואנחנו לא רוצים לסתור אותן. נכניס אותן לטבלה:

נפעיל את הנחה ב׳, ונמלא את היחס הדו-כיווני, שאומר ששני החלקים זהים: