המדע והאמנות של
קיפולי הנייר

אוריגמי היא אמנות קיפול הנייר, שמקורה ביפן. העיסוק בה החל לפני כמה מאות שנים לפחות, וספר הוראות הקיפול המוקדם ביותר המוכר לנו הוא מדריך לקיפול צורות של עגורים, שראה אור בשנת 1797. מאז השתכללו מאוד שיטות הקיפול, והן מאפשרות כעת ליצור צורות מורכבות ומרהיבות, שופעות פרטים קטנים.

מימין: קיפול אוריגמי של עגור (הוראות); אייל לבן זנב, עיצוב: רוברט לאנג (תבנית הקפלים); אוריגמי תבניות חזרתיות | צילומים: Tiger Images, DenisProduction.com, Shutterstock

ספרי האוריגמי כוללים הוראות קיפול שמתחילות מדף אחד – או מכמה דפים המשולבים יחד במבנים מורכבים – ומפרטות את צעדי הקיפול הדרושים ליצירת הצורה התלת-ממדית הרצויה. אם ניקח מבנה אוריגמי מקופל ונפרוס מחדש את הדף ששימש להכנתו, נוכל לבחון את תבנית הקיפולים, כלומר את אוסף הקפלים שאפשרו את המבנה התלת-ממדי. נזהה בהם סימטריות רבות, וקשרים שמזכירים כללים גיאומטריים מוכרים.

מימין: קיפול של ציפור. משמאל: פריסת הדף המקופל מציגה את תבנית הקיפולים. הקו האלכסוני החוצה את הדף הוא ציר הסימטריה | צילומים: טל סוקולוב

חוקי הקיפולים

מתמטיקאים זיהו קווי דמיון רבים בין אוריגמי לגיאומטריה ולתחומים נוספים במתמטיקה. במהלך המאה ה-20 התפתחו בהדרגה הגישות המרכיבות את "המתמטיקה של האוריגמי".

יחידות הבניין הבסיסיות של מבנה אוריגמי קלאסי הן הקיפולים , אם כי קיים גם אוריגמי רטוב, שכולל כיפופים של הדף שאינם דורשים קיפול. שני קיפולי היסוד האפשריים הם "הר" או "עמק", והם כמובן מתחלפים אם הופכים את הדף.

המתמטיקאי היפני ג'וּן מאקאווה (Maekawa) ניסח בשנות ה-80 של המאה שעברה את הקשר בין מספר קיפולי העמק ומספר קיפולי ההר שעוברים דרך נקודה יחידה בדף באוריגמי שטוח, כלומר קיפול נייר שאת צורתו הסופית אפשר לשטח, ולמשל לשמור אותו בין עמודי ספר סגור. משפט מקאווה קובע כי ההפרש בין מספר קיפולי ההר שעוברים בנקודה כלשה בדף למספר קיפולי העמק בה תמיד יהיה שתיים בדיוק. תוכלו לבחון זאת בעצמכם: סמנו נקודה על דף, וקפלו כמה קיפולים שתרצו. ההפרש יישמר כל עוד כולם עוברים בנקודה שסומנה, ובכל שלב האוריגמי נשאר שטוח.

מימין: קיפול הר וקיפול עמק. משמאל: לפי משפט מקאווה ההפרש בין סך קיפולי העמק (מקווקו) וההר (מקווקו ומנוקד לסירוגין) יהיה תמיד 2 | צילומים ואיורים: טל סוקולוב

תכונה נוספת בנוגע לקיפולים העוברים דרך נקודה בדף באוריגמי שטוח מנוסחת במשפט על שם המתמטיקאי היפני טוֹשיקאזוּ קוואסאקי (Kawasaki). המשפט דן בזוויות השכנות שנוצרות בין קיפולים סמוכים שעוברים באותה נקודה. אם נסמן את הזוויות לפי הסדר α₃, α₂, α₁...  וכן הלאה, נמצא כי יש מספר זוגי של זוויות, והן מקיימות: 0=α_n – α_n-1 + ... + α₄ – α₃ + α₂ – α₁

הזוויות בין קפלים סמוכים שעוברים באותה נקודה באוריגמי שטוח | צילום ואיור: טל סוקולוב

כלומר, אם נחסר ונחבר לסירוגין את גודל הזוויות לפי סדר הופעתן, התוצאה תתאפס בסוף. אפשר לנסח את המשפט בצורה נוספת: סכום הזוויות האי-זוגיות וכך גם סכום הזוויות הזוגיות, שווה ל-180 מעלות.

שני המשפטים קשורים לתכונות שמשאירות את האורגימי שטוח למרות הקיפולים. קיפול יוצר זווית בין חלקי הדף שקופלו זה לעבר זה. נניח שקיפול הר מוסיף מעלות וקיפול עמק מחסיר מעלות (אפשר, כמובן, להחליט גם את ההיפך). פעולות הקיפול, שמוסיפות ומחסירות זוויות בין חלקי הדפים, צריכות להסתכם בסוף כך שהדף יישאר שטוח, כלומר שיהיו 0 מעלות בין הכיוון המקורי לכיוון הסופי.

מקיפול לגרף וחזרה

אוסף הקיפולים והמפגשים ביניהם בתבנית הקיפולים קשור בין השאר לענף מתמטי שנקרא תורת הגרפים. התחום דן במבנים שאפשר לתאר בעזרת אוסף של קודקודים וקשתות שמחברות ביניהם. למשל מפת כבישים בין ערים, או קשרי חברויות בקבוצות של אנשים. תבנית הקיפולים של האוריגמי מתאימה למבנים האלה, כך שהקווים שיוצרים הקיפולים שקולים לקשתות הגרף, ונקודות מפגש בין קיפולים שקולות לקודקודים.

בעולם תורת הגרפים דנים בין היתר בבעיות שמכונות "בעיות צביעה". נאמר שיש בידינו ארבעה טושים בצבעים שונים. אנו יכולים לתהות אם מספיקים ארבעה צבעים כדי לצבוע את השטח שנוצר בין קשתות שנפגשות, כך ששטחים שכנים שנמצאים משני צדדיה של קשת לא ייצבעו לעולם באותו צבע. הבעיה הזאת נקראת בעיית ארבעת הצבעים. המתמטיקאי האמריקאי טום האל (Hull) ציין בספרו Project Origami שבאוריגמי מספיקים שני צבעים בלבד כדי לצבוע את כל תבנית הקיפולים, כך ששני שטחים שכנים ייצבעו מיד בצבעים שונים.

מימין לשמאל: קיפול אוריגמי שטוח של דינוזאור; תבנית הקיפולים של הדינוזאור; צביעת התבנית בשני צבעים – שום זוג מצולעים שחולקים קשת לא נצבע באותו צבע | צילומים: טל סוקולוב

ההוכחה לכך באוריגמי שטוח היא אינטואיטיבית. האל מציין כי מכיוון שהאוריגמי הסופי ניתן לשיטוח, כל אחת מפאות הקיפולים פונה לאחד משני כיוונים אפשריים. אם נשכיב את הדף המקופל על שולחן, הכיוונים האלה יהיו למעלה או למטה. אם נצבע את כל הפאות שפונות למעלה בצבע אחד ואת אלה שפונות למטה בצבע אחר, נקבל את הצביעה המתאימה. אף זוג פאות שחולקות צלע של קיפול לא ייצבע באותו צבע, שכן פאות סמוכות תמיד יקופלו לצדדים נגדיים – אחרת האוריגמי לא יישאר שטוח.

קיפולים ככלי מתמטי

דנו עד כה בחוקים שמגבילים את הזוויות האפשריות באוריגמי, את אופי הקשתות – הרים ועמקים, ואת הקיפולים האפשריים. הגבלות הן מה שמגדיר את אוסף הפעולות שאפשר לבצע באוריגמי. הן באות לידי ביטוי בשבע האקסיומות של קיפולי הנייר – חוקים בסיסיים שכמה מתמטיקאים זיהו בנפרד בסוף שנות ה-80 ותחילת שנות ה-90 של המאה הקודמת. אקסיומות הוזיטה-האטורי נקראות על שם המתמטיקאים ואמני האוריגמי הוּמיאקי הוזיטה (Huzita), שפרסם את שש האקסיומות הראשונות, וקוֹשירוֹ האטורי (Hatori) שהשלים את השביעית. המתמטיקאי הצרפתי ז'אק ז'סטן (Justin) פרסם את כל השבע באופן בלתי תלוי עוד לפני היפנים.

שבע האקסיומות מתארות את הקיפולים האפשריים תחת ההגבלות המתמטיות שחלות על האוריגמי. לצורך העניין לא מבחינים בין קיפולי הר וקיפולי עמק:

1. בהינתן שתי נקודות על הדף, יש קיפול יחיד שעובר בין שתיהן.

2. בהינתן שתי נקודות על הדף, יש קיפול יחיד שיציב נקודה אחת על גבי השנייה.

3. בהינתן שני קווים על הדף, קיים קיפול שיציב את אחד הקווים בדיוק מעל השני.

4. בהינתן נקודה וקו על הדף, יש קיפול אנכי יחיד לקו שעובר דרך הנקודה.

5. בהינתן שתי נקודות וקו על הדף, קיים קיפול שיציב את אחת הנקודות על הקו וגם יעבור בנקודה השנייה.

6. בהינתן שתי נקודות ושני קווים על הדף, קיים קיפול שיציב נקודה אחת על קו אחד ונקודה שנייה על קו שני.

7. בהינתן שני קווים ונקודה על הקו, קיים קיפול שיציב את הנקודה על אחד הקווים וגם יהיה מאונך לקו השני.

הקיפולים האפשריים תחת ההגבלות המתמטיות. שבע האקסיומות | צילומים ואיורים: טל סוקולוב

בשלב הזה בוודאי כבר לא מפתיע שרשימת האקסיומות מזכירה מאוד כללים משיעורי הגיאומטריה בתיכון. אבל זה לא הכול, כי במבט מדוקדק יותר מגלים בהן קשר גם לאלגברה.

ראשית, הגיאומטריה: האקסיומה הראשונה והשנייה מתארות מציאת ישר שעובר בין שתי נקודות, ואת האנך לו. האקסיומה השלישית מתארת מציאת חוצה זווית. הרביעית מתארת הטלת אנך. האקסיומה החמישית מאפשרת מציאת נקודות חיתוך בין ישר למעגל: נניח שיש מעגל שהמרכז שלו נמצא בנקודה p2, והרדיוס שלו הוא המרחק בין p1 ל-p2. אם נמצא קיפול שיעבור ב-p2, ויניח את p1 על הישר, הנקודה שבה p1 תיגע בישר תימצא במרחק של רדיוס אחד מ-p2. כלומר זו נקודת ההשקה בין מעגל שמרכזוֹ נמצא ב-p2 לבין הישר. אם יש שני קיפולים אפשריים כאלה, זה אומר שיש שתי נקודות על גבי הישר שנמצאות במרחק של רדיוס אחד מהנקודה p2, כלומר הקו עובר דרך מרכז המעגל. 

מימין: ישר משיק למעגל, משמאל: ישר חותך את המעגל. בעזרת קיפולי נייר אפשר למצוא את נקודות החיתוך, ולמעשה לפתור משוואה ריבועית | צילומים ואיורים: טל סוקולוב

מציאת משיק למעגל מערבת פתרון משוואה ריבועית (משוואה שצורתה y=ax²+bx+c). בהתבסס על שיטות גיאומטריות לפתרון משוואות מסדר שני ושלישי, אפשר להשתמש בסדרת קיפולים על מנת למצוא פתרון למשוואות ריבועיות ולמשוואות ממעלה שלישית. האקסיומה השישית מאפשרת למצוא ישר המשיק לשתי פרבולות, מקביל לפתרון משוואה ממעלה שלישית ורביעית.

המתמטיקאי ואמן האוריגמי רוברט לאנג (Lang) הראה שזוהי מערכת אקסיומות שלמה, כלומר שאפשר להגדיר בעזרת הפעולות הללו את כל הקיפולים האפשריים באוריגמי.

דוגמה נוספת לפתרון בעיות מתמטיות בעזרת קיפולי נייר היא בעיית שילוש הזווית, המוכרת עוד מימי יוון העתיקה: איך אפשר לחלק זווית לשלוש זוויות שוות בעזרת סרגל ומחוגה. במחצית הראשונה של המאה ה-19 הוכח כי לא כל זווית אפשר לחלק בצורה הזאת. סרגל ומחוגה אינם מספיקים בפני עצמם, אבל אפשר להוסיף כלים נוספים, ביניהם האוריגמי, ולחלק באמצעותם את הזווית לשלושה חלקים שווים. ואכן סדרה של צעדי קיפול נייר מאפשרת לבחור זווית על הדף וליצור מבעד לה שני קיפולים נוספים, כך שכל אחת משלוש הזוויות שנוצרות שווה לשליש מהזווית המקורית.

אוריגמי חישובי

ההגדרה של כלל הקיפולים האפשריים וחקירת הקשר בין תבניות הקיפול לצורה הסופית של הנייר המקופל פתחה את הדלת בשנות ה-90 לענף חדש של אוריגמי חישובי, שמאפשר לכמת פעולות וצורות של קיפול. רוברט לאנג היה בין הראשונים שפיתחו תוכנות שמחשבות תבניות קיפולים על סמך שרטוט קווים גולמי המייצג את הדמות המקופלת. דמות קווים כזאת היא הפשטה שמאפשרת לתאר את הקווים הכלליים של צורה מורכבת, כך שהתוכנה מאפשרת למצוא את הקיפולים המרכזיים של כל צורה גיאומטרית שנרצה, ועליהם נוכל להוסיף עוד פרטים.

מתמטיקאי ואומן אוריגמי אחר, אריק דמיין (Demaine) מקנדה, הוכיח ב-1999 שאפשר לקפל מרצועת נייר כל צורה שמורכבת מפאונים. ב-2017 פרסם דמיין אלגוריתם לקיפול כל צורה תלת-ממדית שמורכבת מפאונים. חלק ניכר מהדמויות התלת-ממדיות שאנחנו יכולים להעלות בעיני רוחנו אפשר לתאר כחיבור של פאונים מורכבים, כך שהאלגוריתמים הללו פותחים את האפשרות לעיצובים כמעט חופשיים.

קיפולי נייר שתוכננו באמצעות בינה מלאכותית | צילום: נמרוד רפופורט

קיפולי האוריגמי עונים לסדרה של כללים גיאומטריים פשוטים, אך גם מאפשרים ליצור צורות מורכבות מאוד שתכנונן מציב בפנינו בעיה חישובית מאתגרת. בין שהאוריגמי מציג את המתמטיקה באופן תלת-ממדי ובין שהמתמטיקה התלת-ממדית מחביאה בתוכה את חוקי האוריגמי, מה שברור הוא שמדובר באמנות יצירתית ומתמטית גם יחד. 

בכתבה הבאה בסדרה נראה במה אמנות קיפול הנייר רלוונטית גם לפיזיקאים ולמהנדסים.