המתמטיקאי שסירב
להישלח למחנות

בשעה שתקבל את המכתב הזה, שלושתנו כבר פתרנו את הבעיה בדרך אחרת – הדרך שתמיד ניסית להניא אותנו ממנה [...] מה שעבר על היהודים בחודשים האחרונים מעורר חשש מוצדק שלא נוכל עוד לחיות בתנאים שאפשר לסבול אותם"

כך נפתח מכתבו של המתמטיקאי הגרמני היהודי פליקס האוסדורף (Hausdorff) לידידו, עורך הדין הנס וולשטיין (Wollstein), לאחר שקיבל הוראה להתייצב במחנה ריכוז סמוך לעיר בון בתחילת 1942. להאוסדורף, שהיה כבר בן 73, לא היו אשליות לגבי טיבו של המחנה, וגם לא הייתה לו כל כוונה להניח לנאצים לרצוח אותו. הוא שם קץ לחייו, יחד עם אשתו ואחותה. בכך הגיעה לסיומה הטרגי הקריירה המרשימה של אחד המתמטיקאים החשובים במאה העשרים. גם כיום, שמונים שנה אחרי מותו, עבודותיו הן עדיין בסיס חשוב לענפים רבים במתמטיקה.

כבר פתרנו את הבעיה בדרך אחרת. תחילת המכתב ששלח האוסדורף לידידו יום לפני ששם קץ לחייו עם אשתו וגיסתו | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

בין אמנות למדע

פליקס האוסדורף נולד ב-8 בנובמבר 1868 בעיר הגרמנית ברסלאו (כיום ורוצלאב בפולין). אביו לואיס היה איש עסקים שעבד בעיקר בענף הטקסטיל, אך גם היה אדם משכיל ומלומד שבגיל 14 כבר הוסמך ללמד תורה, ובהמשך פרסם מאמרים בנושאים תורניים והיה פעיל בקהילה היהודית בגרמניה. אמו הדוויג (או יוהנה לפי חלק מהרישומים), הייתה נצר למשפחת טייץ העשירה, שבבעלותה הייתה רשת של חנויות כלבו. כשהיה בן שנתיים עברה המשפחה ללייפציג בעקבות עבודתו של האב, שניהל כמה חנויות בעיר, ושם פליקס גדל והתחנך.

האוסדורף היה תלמיד מצטיין בתחומים רבים. התיכון שבו למד שם דגש על שפות קלאסיות, ולמבחן הסיום היה עליו לכתוב מאמר בלטינית על עמדותיו של המדינאי הרומי קיקרו. כמו כן הוא כתב שירה בלטינית ובגרמנית, ופעמים רבות התבקש לדקלם משיריו באירועים של בית הספר, הוא הצטיין במתמטיקה ובפילוסופיה, ובמיוחד בלט בכישרונו המוזיקלי, כפסנתרן מחונן. חברה של המשפחה סיפרה לימים כי כשסיים את לימודי התיכון התלבט האוסדורף אם ללמוד מוזיקה באקדמיה ולשאוף לקריירה של מלחין, אך בסופו של דבר נכנע ללחץ של אביו ובחר במדעים.

ב-1887 החל האוסדורף בלימודי מתמטיקה ואסטרונומיה באוניברסיטת לייפציג. לצד המקצועות הרשמיים שלמד הוא לקח קורסים במגוון עצום של נושאים, ובהם פיזיקה, כימיה, ספרות, פילוסופיה, היסטוריה, שפות ועוד. הוא לא זנח כמובן את אהבתו הישנה, ובין השאר השתתף בהרצאות על תולדות המוזיקה. הוא גם פיתח בקיאות רבה וחיבה יתרה למוזיקה של ריכרד וגנר, שהפך לימים, למרבה האירוניה, לאחד המלחינים האהובים על בכירי המשטר הנאצי.

לאחר סיום התואר המשיך האוסדורף לדוקטורט באסטרונומיה, בהדרכתו של היינריך ברונס (Bruns). עבודתו הייתה מתמטית בעיקרה, והוא בחן וניתח היבטים של שבירת האור באטמוספרה. ברונס חשב בנתוני שבירת האור לניתוח הרכב האטמוספרה של כדור הארץ, ואפילו לתצפיות אסטרונומיות. התברר כי השיטה אינה מעשית לתצפיות, ועד מהרה התפתחו שיטות לדגימה ישירה של הרכב האטמוספרה בעזרת כדורים פורחים, כך שהעבודה בתחום הובילה למבוי סתום. עם זאת, המתמטיקה המצוינת של האוסדורף עמדה בזכות עצמה והקנתה לו תואר דוקטור לפילוסופיה ב-1895, כשהיה בן 27. היא גם הניבה שלושה מאמרים מדעיים, שסללו את דרכו להסמכה כמרצה למתמטיקה באוניברסיטת לייפציג.

פסנתרן מחונן, פילוסוף, משורר וגם דוקטור למתמטיקה בגיל 27. פליקס האוסדורף | צילום: מתוך Hausdorff Edition, ויקיפדיה, נחלת הכלל

חיים כפולים

באותה תקופה, לצד עבודתו המתמטית, התמקד האוסדורף גם בכתיבה ספרותית ופילוסופית. בין השאר הוא פרסם ספר שירה, מחזה, ספר על הפילוסופיה של איש הדת הפרסי זרתוסטרה וספר של אפוריזמים – ממרות קצרות וקליטות. בספר הזה הוא השתמש לראשונה בשם העט פול מונגרה (Paul Mongré), שילווה אותו עוד שנים רבות בכתיבתו הפילוסופית. השם הסמלי נגזר מהמונח הצרפתי a mongré, שפירושו "לטעמי האישי" או "לדעתי", ומבטא את עצמאותו של האוסדורף ואת בחירתו לא לשקוע רק במתמטיקה, ואולי גם את השחרור מהצל של אביו, שהלך לעולמו ב-1896. בסך הכול פרסם האוסדורף 22 ספרי פרוזה, שירה ופילוסופיה, 17 מהם בתקופה הפורה ביותר שלו, בין 1897 ל-1904. 

"כבן למשפחה עשירה הוא לא היה צריך לדאוג לקידום הקריירה שלו כמתמטיקאי. מבחינתו המתמטיקה, כתחום מחקר וכנושא הוראה גם יחד, הייתה תחביב יותר מאשר כל דבר אחר", כתב עליו היסטוריון המתמטיקה סנפורד סגל (Segal) בספרו על המתמטיקה בימי המשטר הנאצי בגרמניה.

ב-1899 נשא האוסדורף לאישה את שרלוט (לוטֶה) גולדשמידט (Goldschmidt), בתו של רופא יהודי אמיד ונכדתה של אשת חינוך שהייתה מחלוצות התנועה הפמיניסטית. כעבור שנה נולדה בתם היחידה לאונורֶה (נורָה). ב-1901 אושר מינויו לפרופסור באוניברסיטת לייפציג. להמלצות החמות שקיבל הוסיף דיקן הפקולטה את ההערה: "הפקולטה רואה בעצמה מחויבת לעדכן את המשרד המלכותי כי לא כל חברי הסגל אישרו את המינוי, והוא אושר ברוב של 22 לעומת שבעה. המיעוט שהצביע נגד ד"ר האוסדורף עשה זאת מכיוון שהוא בן הדת היהודית".

תוצאות ההצבעה והערת הדיקן מעידות על האנטישמיות הגלויה שרווחה אז בלייפציג. למרות זאת, האוסדורף העדיף להישאר שם, ודחה ב-1902 הצעה להתמנות לפרופסור באוניברסיטת גטינגן, שהייתה אחד המרכזים המובילים בעולם בתחום המתמטיקה. הסיבה להחלטה הייתה כנראה עיסוקיו הרבים מחוץ למתמטיקה. גם החוג החברתי שלו כלל בעיקר אמנים ופילוסופים, ולא אנשי מדע.

אנטישמיות גלויה. הבניין הראשי של אוניברסיטת לייפציג ב-1917, שנים אחדות אחרי שהאוסדורף עבר לבון | צילום: מתוך אוסף Wolfgang Sauber, ויקיפדיה, נחלת הכלל

מקצוע של יהודים

למרות סערות התקופה ושלל עיסוקיו האחרים, היו אלה שנים פוריות ביותר להאוסדורף גם בשדה המתמטיקה. מחקריו השתרעו על פני מגוון רחב מאוד של תחומים, בהם אופטיקה, גיאומטריה לא-אוקלידית, מספרים היפר-מורכבים, הסתברות ואפילו מתמטיקה של הביטוח.

במאמרו על הביטוח מ-1897 הציג האוסדורף שיטה חדשה לאמוד את הסיכון שחברת הביטוח לוקחת על עצמה (variance of loss), וזו משמשת את חברות הביטוח עד ימינו בפוליסות מסוגים מסוימים. גם העיסוק בביטוח נבע מאנטישמיות: לפי דברי מוריץ אפל (Epple) בפרק המוקדש להאוסדורף בספר יהודים ומדעים בהקשרים גרמניים, האוניברסיטה הטילה עליו ללמד קורס בנושא המתמטיקה של הביטוח בטענה שזה מקצוע של יהודים.

בתחילת המאה העשרים התכנס תחום עיסוקו המתמטי של האוסדורף יותר ויותר לנושא מרכזי אחד: תורת הקבוצות – התחום המתמטי העוסק באוספים של איברים מתמטיים ותכונותיהם. הוא הגיע לתחום דווקא מהכיוון הפילוסופי, בעקבות רעיונותיו של מפתח תורת הקבוצות, המתמטיקאי הגרמני גאורג קנטור (Cantor).

קנטור הראה שיש קבוצות אינסופיות שגודלן שונה, אף על פי שכולן אינסופיות, אך לא הצליח למצוא הוכחה שקיימת קבוצה בגודל ביניים, בין שני גדלים של אינסוף. לכן הוא הציג את השערת הרֶצֶף (the continuum hypothesis), המציעה את האפשרות שקבוצה כזו אינה קיימת. האוסדורף שקד על הבעיה כשלוש שנים, ובסופו של דבר פרסם ב-1904 את נוסחת הרקורסיה שלו. רקורסיה היא פעולה מתמטית החוזרת על עצמה, והשימוש בה בהקשר זה איפשר להעלות בחזקה מספרים אינסופיים המתארים קבוצות כאלה, ולחזור על כך שוב ושוב. זה אומנם לא היה פתרון ישיר להשערת הרצף, אך הוא סיפק למתמטיקאים כלים חדשים לגמרי לחקור את תורת הקבוצות ולפתח אותה.

האוסדורף המשיך לפתח בשנים הבאות עוד ועוד חידושים בתורת הקבוצות. בין השאר הוא פיתח את תחום הקבוצות הסדורות, כלומר כאלה שאפשר לסדר את איבריהן בסדר מסוים, וכן הגה את הרעיון של קבוצות סדורות חלקית, לצד עוד תרומות רבות ופריצות דרך נוספות. כמו כן הוא תרם תרומות חשובות לתחום האנליזה, העוסק בחקר פונקציות, ופתר למשל את מה שמכונה היום "בעיית המומנט של האוסדורף".

בקיץ 1910 עזב האוסדורף את לייפציג והתמנה לפרופסור למתמטיקה באוניברסיטת בּוֹן. אחרי האווירה האנטישמית בלייפציג, בון הייתה חידוש מרענן עבורו, והוא כתב לחבר, "בבון אתה מרגיש, אפילו כאיש סגל זוטר, שמקבלים אותך רשמית, תחושה שמעולם לא הייתה לי בלייפציג".

קשה להתחרות בבהירות ובדיוק של ספרו. פליקס האוסדורף במשרדו | מקור: מרכז האוסדורף למתמטיקה, אוניברסיטת בון 

מרחבים וקבוצות

ב-1914 ראה אור ספרו עב הכרס עקרונות תורת הקבוצות (Grundzüge der Mengenlehre). היה זה ספר הלימוד הראשון שעסק בכל ההיבטים של הנושא, עם הוכחות מלאות וברורות לרעיונות שהציג. תשומת לב מיוחדת עורר הפרק בספר על קבוצות של נקודות, המציג כלים לטיפול באסופות של נקודות היוצרות מרחבים מתמטיים. זאת הייתה אבן דרך חשובה בפיתוח התחום הצעיר של הטופולוגיה (topology) – הענף המתמטי העוסק בחקר תכונות של המרחב. הטופולוגיה היא כיום כלי חשוב בענפים רבים של המתמטיקה, והיסודות שהניח האוסדורף בספרו ובמאמריו הם הבסיס העיקרי שעליו נבנה התחום והתפתח.

הספר כלל עוד פריצות דרך רבות, בין השאר בתורת המידה, העוסקת בדרכים למדוד או לאמוד גודל של קבוצות. האוסדורף פיתח כלים למדידת נפח של צורות מורכבות, וגם מצא קשרים ייחודיים בינו לבין תורת ההסתברות. תרומה חשובה נוספת שלו היא "עקרון המקסימום של האוסדורף" – כלי חשוב לטיפול בקבוצות סדורות חלקית, שמאפשר להראות את קיומו של אובייקט מתמטי מסוים בלי צורך לבנות אותו. זהו הבסיס למה שמוכר כיום בשם "הלֶמה של צוֹרְן" (Zorn’s Lemma), העושה שימוש נרחב יותר בעיקרון דומה. הוא גם הציג את פרדוקס האוסדורף, המוכר כיום יותר בשם הפיתוח שנגזר ממנו, "פרדוקס בנך-טרסקי" (Banach-Tarski Paradox), וקובע כי מפירוק של כדור אחד אפשר ליצור שני כדורים זהים.

הספר על תורת הקבוצות ראה אור חודשים אחדים לפני פרוץ מלחמת העולם הראשונה. המלחמה השפיעה רבות על כל הנעשה באירופה, המתמטיקה והמדע הבסיסי נדחקו הצידה לטובת פיתוחים מדעיים בעלי חשיבות צבאית. אחרי המלחמה, עם ההתעוררות המחודשת של המדע האזרחי, זינק העניין גם בחידושים של האוסדורף, ועבודותיו צוטטו מאות פעמים במאמרים ובספרים, בין השאר בכתבי עת חדשים שהתמחו בטופולוגיה ובתורת הקבוצות. הספר על תורת הקבוצות התפרסם בכמה מהדורות עקב הביקוש הרב. "יהיה קשה לנקוב בשמו של כרך כלשהו במתמטיקה, אפילו בתחום הבהיר של תורת המספרים, שמתעלה על 'תורת הקבוצות' בבהירותו ובדיוק שלו", כתב עליו המתמטיקאי האמריקאי הנרי בלומברג (Blumberg) ב-1921.

האוסדורף עצמו היה בן 46 כשפרצה המלחמה, ולא גויס לצבא, כך שהוא המשיך את עבודתו המתמטית במשנה מרץ גם במהלכה. אחד התוצרים המעניינים שלו מתקופה זו היה ההגדרה של ממד האוסדורף (Hausdorff dimension), המשמש להגדרת מרחבים טופולוגיים מסוימים, ויש לו תפקיד חשוב בהגדרה ובהבנה של פרקטלים – מבנים גיאומטריים שכל חלק בהם הוא עותק מוקטן של הצורה השלמה. לפרקטלים יש חשיבות רבה בטבע ובמתמטיקה, והמאמר המכונן של האוסדורף בנושא, שפורסם ב-1919, היה בין המאמרים המתמטיים המצוטטים ביותר מהעשור השני של המאה העשרים.

תרומות רבות למתמטיקה, לצד עושר אינטלקטואלי בתחומים אחרים. מהדורות של הספר על תורת הקבוצות (למעלה) בגרמנית ובאנגלית, וכריכות ספרים בנושאי ספרות ופילוסופיה שכתב בשמו ובשם העט פול מונגרה 

התעוררות מאוחרת

אף שבמשך השנים האוסדורף התרחק מפעילות פוליטית, אחרי מלחמת העולם הראשונה הוא הצטרף למפלגה הדמוקרטית הגרמנית – מפלגת שמאל שמשכה אליה פוליטיקאים ואינטלקטואלים יהודים, בהם גם אלברט איינשטיין. אבל הפופולריות של המפלגה דעכה במהירות, והאוסדורף, שמעולם לא היה חבר פעיל בה, ביטל את חברותו במפלגה באמצע שנות העשרים.

זמן קצר אחרי עליית הנאצים לשלטון בגרמניה ב-1933 נכנס לתוקפו ה"חוק לשיקום שירות המדינה המקצועי" שהפך את האנטישמיות למדיניות מוצהרת ואִפשר לפטר יהודים מתפקידיהם בשירות המדינה, כולל חוקרים באקדמיה. למזלו של האוסדורף, החוק לא חל עליו, משום שהוא עבד בשירות הציבורי עוד לפני שנת 1914. הוא שמר על משרתו, אבל בהחלט חש בשינוי האווירה, ובין השאר נאלץ לקטוע קורסים והרצאות בשל פעילות של סטודנטים נאצים באוניברסיטה.

ב-1935, כשהיה בן 66, אולץ האוסדורף לפרוש לגמלאות במהלך חפוז. הוא נשלח לדרכו בלי שום טקס או דברי תודה על 40 שנות עבודתו במערכת ההשכלה הגבוהה של גרמניה, ובלי התייחסות לתרומתו העצומה למתמטיקה. אף על פי כן, הוא המשיך לעבוד בביתו, הוציא לאור עוד מהדורה משודרגת ומעודכנת של הספר על תורת הקבוצות, ועד 1938 פרסם עוד שבעה מאמרים בתחומי הטופולוגיה ותורת הקבוצות, שראו אור בכתבי עת בפולין.

האוסדורף הצליח להישאר מעודכן בהתפתחויות במתמטיקה בעזרת ידידו המתמטיקאי אריך בסל-האגן (Bessel-Hagen), הצעיר ממנו בשלושים שנה. הוא היה היחיד מחבריו שביקר בביתו בקביעות, ואף שאל למענו ספרים וכתבי עת מספריית האוניברסיטה, שלהאוסדורף היהודי כבר נאסרה הכניסה אליה.

למרות התנאים הקשים, נראה היה שהאוסדורף לא שש לעזוב את גרמניה. כמו רבים אחרים, נראה שהוא התקשה להאמין כי המצב יוכל להידרדר עוד יותר, ואף כתב כי הוא אינו סבור שהנאצים יפגעו בקשישים. תפיסתו השתנתה בעקבות פרעות "ליל הבדולח" בנובמבר 1938, והוא החל לפנות לחברים בתקווה להשיג מענק מחקר שיאפשר לו לעזוב את גרמניה. מתמטיקאים ידועים שכבר עזבו את גרמניה, בהם הרמן וייל (Weyl) וג'ון פון נוימן (von Neumann) ניסו לפעול למענו, אך ללא הועיל.

הנצחה מאוחרת. מרכז האוסדורף למתמטיקה שנפתח באוניברסיטת בון ב-2006 | צילום: מרכז האוסדורף למתמטיקה, אוניברסיטת בון

סוף עצוב

המצב בגרמניה החמיר והלך, במיוחד אחרי פרוץ מלחמת העולם השנייה ב-1939. במהלך שנת 1941 החל המשטר הנאצי לרכז את יהודי גרמניה ולשלח אותם למחנות ההשמדה בפולין. יהודי בון קיבלו הוראה להתייצב במנזר באֶנְדֶניך (Endenich) ממערב לעיר, שהוסב למחנה ריכוז. אף שחלק מהיהודים עדיין קיוו לטוב, להאוסדורף לא היו שום אשליות. כשקיבל בינואר 1942 את ההוראה להתייצב שם, הוא התיישב לכתוב את מכתבו האחרון לידידו, עורך הדין היהודי הנס וולשטיין. אחרי התודות לחברים, הוא פירט במכתב את סדרי ההלוויה שהוא מבקש, התנצל בפני וולשטיין על הטרחה שהוא גורם לו, ואיחל לו שהוא וכל חבריהם המשותפים יזכו לזמנים טובים יותר.

לאחר ששלח את המכתב, האוסדורף, אשתו ואחותה אדית פפנהיים (Pappenheim) שהתגוררה עימם, התאבדו בנטילת מנת יתר של כדורי הרדמה. בהתאם לבקשתו מידידו וולשטיין, הם נטמנו בבית העלמין בבון. עם זאת, משאלתו האחרונה של האוסדורף, שוולשטיין וחבריו יזכו לזמנים טובים יותר, לא התגשמה. עורך הדין נרצח באושוויץ כעבור זמן קצר.

למרבה הצער, ככל הידוע לא נשאר שריד ממשפחתו של האוסדורף. שתי אחיותיו הצעירות ולרי ומרתה חיו לפני המלחמה בפראג, ונראה שהן וכל בני משפחותיהן נרצחו במחנות. בתו של האוסדורף, לאונורה, נישאה לאסטרונום ארתור קוניג (König) מהיידלברג. נולדו להם שני בנים, פליקס (1927) והרמן (1929). בני המשפחה שרדו את השואה. ארתור הלך לעולמו ב-1969 ולאונורה מתה ב-1991. פליקס ואשתו, שהיו חשוכי ילדים, נהרגו בתאונת דרכים ב-1973, ואילו הרמן סבל מפיגור שכלי עקב בעיה מטבולית וחי רוב ימיו במוסדות טיפוליים. עם מותו ב-2010 נסתם הגולל על השושלת של משפחת האוסדורף.

שושלת בלי המשך. מצבתם של פליקס האוסדורף, אשתו וגיסתו בבית הקברות בבון. בהמשך נקברו איתם גם בתם ובעלה | צילום: מתוך Hausdorff Edition, ויקיפדיה

לאחר מותו של האוסדורף מכר חתנו, קוניג, את ספרייתו. בבית נותרו כתבים רבים של המתמטיקאי, שלא הושלמו, והאגיפטולוג (חוקר מצרים העתיקה) הנס בונט (Bonnet), שהיה חבר של המשפחה, שמר אותם ברשותו. לרוע המזל, ביתו נהרס בהפצצה ב-1944, וההריסות נבזזו. הרשומות המתמטיות לא עניינו במיוחד את הגנבים, ובסופו של דבר הצליח בונט להציל את רוב החומר. המתמטיקאי גונתר ברגמן (Bergamann) השקיע רבות במיון ובארגון של כ-26 אלף העמודים ששרדו ופרסם חלק מהדברים. ב-1980 הוא העביר את החומר לאוניברסיטת בון, שם הוקם בשנת 2006 מרכז האוסדורף למתמטיקה, העוסק במחקר עדכני ובשימור זכרו של המתמטיקאי החשוב.

גם באוניברסיטת גרייפסוולד (Greifswald), שבה עבד האוסדורף כמה תקופות במקביל לעבודתו בבּוֹן, יש מרכז כנסים ובית הארחה למדענים על שמו, וכן רחוב פליקס האודסורף. רחוב מגוריו בבון, שנקרא במקור פרידריך שטראסה, הוא כיום  האוסדורף שטראסה. גם בלייפציג, שאותה עזב בשל האנטישמיות, קראו רחוב על שמו: דרך פליקס האוסדורף. הוא הונצח אפילו בשמו של אסטרואיד שהתגלה ב-1997.

עם זאת, ההנצחה החשובה ביותר היא במתמטיקה עצמה: מרחב האוסדורף, ממד האוסדורף, מידת האוסדורף ועקרון המקסימום של האוסדורף הם רק חלק קטן מרשימה ארוכה של מושגים הקרויים על שמו. הם ממחישים את התפקיד המרכזי שמילא האוסדורף בפיתוח המתמטיקה המודרנית, וגם את הזלזול המוחלט של גרמניה הנאצית במדענים היהודים ובתרומתם הכבירה לכל תחומי המדע – זלזול שהביא בסופו של דבר לקיצו של הרייך השלישי.