האיש שלמד מתמטיקה
על גג טחנת הקמח

חישוב שטחן של צורות גיאומטריות – משולשים, מרובעים, מעגלים וגם צורות מורכבות יותר – העסיק את האנושות עוד בימי יוון העתיקה. אך לא כל הצורות נפוצות באותה מידה. בשעה שמתמטיקאים פיתחו נוסחאות פשוטות לחישוב השטח של צורות בסיסיות יחסית, צורות מסובכות יותר לא זכו להתעניינות דומה, והעלו אבק במשך דורות רבים. אבל אין להסיק מכך שהן לא שימושיות: אפשר להיעזר בהן לחישוב שטחים חקלאיים או מסחריים, לפתרון בעיות בהנדסה ובפיזיקה, וכמובן לצרכים מתמטיים טהורים.

כבר לפני שנים ארוכות נמצא מענה טכנולוגי לבעיית חישוב השטח של צורות לא שגרתיות. זהו מכשיר בשם פלנימטר – כלי מכני, קל יחסית לתפעול, שנראה כמו מחוגה גדולה. כדי להשתמש בו, מעבירים את המחוג על פני ההיקף החיצוני של הצורה, וההיקף מתורגם מייד לשטח שכלוא בתוכו. עקרון הפעולה של הפלנימטר מחבר בין היקף הצורה, תהיה אשר תהיה, לבין השטח שלה. זוהי דוגמה מובהקת למשפט גרין – משפט שקושר בין האינטגרל שמופעל על היקף של צורה לבין האינטגרל שמחשב את השטח שכלוא בתוכה, ומאפשר לנו להסיק מתוך אחד מהם על אודות האחר. לכאורה מדובר במשפט מתמטי אחד מני רבים, אלא שלאדם שמאחוריו היה סיפור חיים יוצא דופן, ואם לא די בכך, ייתכן שבנסיבות שונות במקצת לא היינו זוכים בכלל להכיר את עבודותיו.

מכשיר פשוט יחסית המאפשר לחשב שטח של צורות לא שגרתיות. פלנימטר | Stefan Kühn, Wikimedia

לא על הלחם לבדו

גיבור סיפורנו, ג'ורג' גרין (Green), הוטבל ב-14 ביולי 1793 בנוטינגהאם שבאנגליה. אביו היה אופה מצליח. בדרך כלל, בשלב הזה עובר הסיפור לתאר את מסלול התפתחותם של חוקרים נודעים: מילדים מבריקים, לבני נוער משכילים, לסטודנטים מצטיינים, וכן הלאה. אך גרין נולד וגדל בסביבה שהקשתה עליו מאוד לרכוש השכלה פורמלית. באותה תקופה רק חלק קטן מילדי העיר זכו בכלל ללמוד במסגרת כלשהי, וגם המעטים שכן למדו נשלחו ל"בתי ספר של יום ראשון" – מעין מדרשות כנסייתיות, שהלימודים בהן ארכו לכל היותר שנה או שנתיים. גרין האב חינך את ילדיו להרוויח את לחמם בעצמם מגיל צעיר מאוד: ג'ורג' החל לעבוד בתחום האפייה כבר בגיל חמש. אך העניין שלו בעבודת הכפיים היה מועט ביותר, והוא גילה סקרנות ואינטלקט מפותחים.

האב השתכנע לרשום את בנו לבית ספר של יום ראשון, וג'ורג' התחנך שם במשך שנה אחת, כשהיה בן שמונה. מנהל בית הספר היה רוברט גודאייקר (Goodacre), שנחשב לגרסה האנושית בת-זמנה של מכון דוידסון היום: הוא היה מנגיש מדע ומחנך נודע, והשפיע על המשך דרכו של גרין בתקופת ההיכרות הקצרה שלהם. עם סיום לימודיו בבית הספר של גודאייקר שב ג'ורג' למלאכה המשפחתית. ב-1807 רכש אביו חלקת אדמה בסננטון (Sneinton) הסמוכה לנוטינגהאם, והקים שם טחנת קמח מודרנית לזמנה – שדרשה תחזוקה מסביב לשעון. טחנת הקמח המשיכה לפרנס את משפחת גרין, אך לשם כך נדרש ג'ורג' הצעיר לעמול בעסק המשפחתי ללא הפסק, בלי שמימש את שאיפתו לרכוש השכלה מתמטית.

בסביבות שנת 1823 הכיר גרין את שותפתו לחיים, ג'יין סמית', שאביה היה המנהל השכיר של טחנת הקמח. ג'ורג' וג'יין הביאו לעולם שבעה ילדים משותפים, אם כי לא נישאו מעולם. באותה שנה ממש נרשם גרין לספרייה של נוטינגהאם, שנפתחה שנים אחדות קודם לכן. על אף שהוא חַסָר את מה שקרוי בימינו "לימודי ליבה", בער בו רצון עז ללמוד מתמטיקה. לצד העבודה הרבה בטחנת הקמח הוא שאל ספרי מתמטיקה מהספרייה והתעקש להקדיש להם את מלוא תשומת הלב. הוא קרא עוד ועוד, לעיתים כשהוא שוהה על גג הטחנה, העמיק את ידיעותיו בענפים שונים של מתמטיקה ופיזיקה, והחל לגבש את המסקנות ואת התובנות שעלו בו לכדי מאמר. מאמר מתמטי לפי כל הכללים – אך בלי ללמוד בבית הספר, בלי השכלה אקדמית פורמלית, ובלי שידוע לנו בבירור על מנחה, מורה, מרצה או פטרון שיכלו לקדם את השכלתו המתמטית.

המאמר, תחת הכותרת "חיבור על יישומי אנליזה מתמטית לתיאוריות של חשמל ומגנטיות", פורסם בעיתון של נוטינגהאם במרץ 1828, חמש שנים בלבד לאחר שהתאפשרה לגרין גישה מסודרת כלשהי לכתבים מתמטיים. את הוצאות פרסום המאמר חלקו ביניהם 51 תורמים שהיו מנויים, בדומה לגרין, בספרייה של נוטינגהאם; מעין מימון-המונים בגרסת המאה ה-19, אם תרצו.

קושר בין האינטגרל שמופעל על היקף של צורה ובין האינטגרל שמחשב את השטח שכלוא בתוכה. הדגמה גרפית של משפט גרין | מקור: ויקימדיה

מאלקטרומגנטיות לחשבון דיפרנציאלי

אותה תקופה הייתה שעת רצון מדעית עבור תורת האלקטרומגנטיות הקלאסית, שהחלה להתפתח עוד במאה ה-18. הודות לאישים כמו אלסנדרו וולטה (Volta), מייקל פאראדיי (Farady), שארל-אוגוסטן דה קולון (de Coulomb), ג'וזף הנרי (Henry), גאורג אוהם (Ohm) ואנדרה-מארי אמפר (Ampère), התבסס מעמדו של הכוח החשמלי ככוח מניע חשוב שכדאי לחקור ולגלות את צפונותיו, כדי לשכלל את השימוש בו לטובת האדם. היום אנחנו מכירים את שמותיהם של החוקרים הללו כיחידות מידה יסודיות בחשמל ובמגנטיות. 

לתמונה הזו הצטרף גרין. באותו מאמר ראשון הוא הציע את השם "פוטנציאל" ליכולת להניע מטענים חשמליים מנקודה אחת לאחרת, והתווה נוסחה כללית לחישוב הפוטנציאל החשמלי במערכת כלשהי. לצורך החישוב נעשה שימוש באינטגרלים על פני משטחים וגופים שונים. בקצרה, אינטגרלים מרחיבים את מושג הסכום, והם משמשים כלי מתמטי יסודי לחישוב אורכן של עקומות ושל השטחים הכלואים תחתיהן, וכן לחישוב נפחים והכללות נוספות. במשפט גרין תואר לראשונה הקשר בין האינטגרל הקווי על פני מסילה, או עקומה, לבין האינטגרל שמחשב את השטח שכלוא בתוכה. גרין הציע להשתמש בקשר הזה בין האינטגרלים כדי לחשב את השדה המגנטי שנוצר סביב תיל נושא זרם, מה שידוע היום כחוק אמפר.

גרין הציע גם שימוש בפונקציה חדשה, שתיקרא לימים פונקציית גרין, ככלי לחישוב הפוטנציאל לפי התפלגות המטענים החשמליים במרחב. הוא אומנם הציע את שיטתו ככלי נקודתי לפתרון בעיה מסוימת באלקטרומגנטיות, אך למעשה יצר, שלא במתכוון, כלי אוניברסלי לפתרון משוואות דיפרנציאליות. משוואות כאלה משמשות בפיזיקה כלי פורמלי לתיאור שלל תהליכים דינמיים בטבע, מהחוק השני של ניוטון ועד משוואת שרדינגר. לפיכך, הכלי רב-העוצמה של גרין שימושי ביותר גם כיום בפתרון בעיות בתחומים רבים בפיזיקה, בין היתר בניתוח תופעת מוליכות-העל. השפעתו רחבת היריעה מגיעה גם למכניקת הקוונטים, שפותחה דורות אחרי זמנו של גרין. 

החיבור של גרין על יישומי אנליזה מתמטית לתיאוריות של חשמל ומגנטיות מ-1828 | מקור: ויקימדיה, נחלת הכלל

דחיפה קלה מחברים

לא תמיד קל לזהות גאונות בזמן אמת, בפרט אם הגאון המדובר מתגורר בעיירה נידחת ומתפרנס מטחנת קמח. רוב קוראי המאמר של גרין חסרו את ההשכלה המתמטית הדרושה כדי לעמוד על חשיבותו – אחרי הכול, רובם היו קוראים מן היישוב ולא חוקרים או מדענים. רק המתמטיקאי סר אדוארד ברומהד (Bromhead), אחד מהמשקיעים המקוריים בפרסום של גרין, זיהה את הפוטנציאל, תרתי משמע, שטמון באיש וברעיונותיו. אך גרין, המום מכך שמישהו בכלל טורח להתייחס לעבודה שלו, נמנע מיצירת קשר עם ברומהד במשך כשנתיים. 

בינתיים, ב-1829 נפטר אביו של גרין, ועול ניהול הטחנה הוטל כעת כאבן ריחיים על צווארו של ג'ורג'. למרות זאת, מצבה הכלכלי היציב של המשפחה אפשר לו להרחיב את שאיפותיו. ב-1830 הוא יצר סוף-סוף קשר עם ברומהד, והלה עודד אותו להמשיך לחקור תחומים נוספים בפיזיקה מתמטית, בנושאי אלקטרומגנטיות וגם הידרודינמיקה. שני הנושאים האלה דנים בזרימה ומתוארים באמצעות מבנים גיאומטריים דומים, כך שהם קשורים זה לזה באופן הדוק. במסגרת עיסוקו בהידרודינמיקה פיתח גרין את "חוק גרין", שעוסק בהתקדמות של גלים במים רדודים ומצוי בשימוש בתחום האוקיינוגרפיה. הוא הקדים בעשרות שנים את יצירתו של קירוב WKB במכניקת הקוונטים, שמבוסס על רעיון זהה. 

בשנים הבאות פרסם גרין עוד כמה מאמרים בתמיכת ברומהד; השלישי שבהם כבר יצא לאור כחלק מפרסום מאת החברה המלכותית של אדינבורו.

בערך באותה תקופה פיזיקאי ומתמטיקאי מוכר בהרבה, קרל פרידריך גאוס, פעל במקביל לגרין ופרסם תגליות דומות לשלו. לימים הוכללו משפט גרין ומשפט גאוס תחת אותה קורת גג מתמטית, משפט סטוקס, שעליו מבוסס כל תחום הגיאומטריה הדיפרנציאלית.

ברומהד, שהכיר היטב את אושיות המתמטיקה והפיזיקה בבריטניה, היה לידיד נפשו של גרין ולגדול תומכיו. עם זאת, ניכר שגרין לא מיהר להיכנס בדלתות שפתחה בפניו הידידות הזאת. ביוני 1833 הציע ברומהד לגרין להצטרף אליו למעין פגישת מחזור, אך גרין, בצניעותו כי רבה, השיב לו כך: "היית נדיב מאוד כלפיי עת הזכרת את מסעך לקיימברידג' לצורך פגישה עם חבריך הרשל, בבג' ואחרים, שהם בבחינת אבירי המדע הבריטי. בהיותי מתחיל, אני סבור שאין לי הזכות להגיע לשם, ועליי לדחות תענוג זה עד אשר אהפוך לאיש מדע מכובד באופן סביר, אם אכן אזכה לכך". אולם גרין כן הרים כפפה אחרת שזרק לו ברומהד, ונרשם ללימודי תואר ראשון במתמטיקה בקיימברידג' כמה חודשים לאחר מכן. לימודים אלה עברו בשלום יחסי מבחינתו, ודווקא הלימודים הקלאסיים שהתלוו אליהם, כמו לטינית ויוונית, הקשו עליו יותר. על כל פנים, ב-1837 השלים גרין את לימודיו בהצלחה ניכרת כאשר הוכתר לרביעי בין תלמידי המחזור שלו.

טחנת הקמח שהייתה בבעלות אביו של גרין בסננטון, כיום פרוור של נוטינגהאם | מקור: Kev747, Wikimedia

לקראת הסוף

בשנתיים הבאות הוא המשיך לפרוח ולעסוק במחקר, ואף כתב מאמרים אחדים בנושאי אור ואקוסטיקה. הוא הספיק לפרסם בימי חייו עשרה מאמרים, והיה צפוי לו עתיד מזהיר. ב-1840, שנה לאחר שזכה במלגה וצורף לחברה הפילוסופית של קיימברידג', נפל גרין למשכב ושב למחוזות נעוריו בסננטון. הוא נפטר שנה לאחר מכן, בגיל ארבעים ושבע בלבד.

בפרספקטיבה היסטורית נהוג להגדיר את גרין כפיזיקאי וכמתמטיקאי גם יחד, אולם בימי חייו הפיזיקה לא הוכרה כתחום דעת נפרד, ולכן ההגדרות הללו מלאכותיות במקצת. כאמור, תגליותיו של גרין הוצגו כפתרונות לבעיות פיזיקליות ספציפיות, אך תמיד היה כרוך בהן חידוש מתמטי מופשט שאפשר להחילו במספר תחומים. בכך טמון חלק מגדולתו.

הנכס המתמטי הגדול ביותר שלו, אותו מאמר ראשון מ-1828, התגלה מחדש רק ב-1845 הודות לוויליאם תומסון (Thomson), לימים לורד קלווין (Kelvin), מגדולי הפיזיקאים והמתמטיקאים בני המאה ה-19; בזכותו זכתה עשייתו של גרין לתהילת עולם. כיום לא תמצאו בחוג למתמטיקה או לפיזיקה סטודנטים שלא נתקלו במשפט גרין, ואם בכל זאת יש כאלה – מומלץ להשלים את החסר במהרה.