הרצועה שלא נגזרת – רצועת מביוס

בניסוי הנוכחי ניצור רצועה שגם אם גוזרים אותה לחצי, היא פשוט לא נגזרת – כמו קסם. הניסוי עוסק בתחום מתמטי שנקרא טופולוגיה, ומומלץ לבצע אותו מול אנשים אחרים ולהפתיע אותם.

ציוד

• רצועת נייר
• טוּש או כלי כתיבה אחר
• נייר דבק או דבק אחר (כדי להדביק את רצועת הנייר ולעשות ממנה טבעת)
• מספריים

מהלך הניסוי

את מהלך הניסוי אפשר לראות בסרטון הבא:

הסבר

רצועת מביוס (יש שכותבים "מוביוס") היא אכן משטח בעל צד אחד ושפה אחת בלבד. המציא אותה היא המתמטיקאי הגרמני יוהן ליסטינג (Johann Listing), ומעט אחריו שחזר את התגלית המתמטיקאי אוגוסטוס פרדיננד מביוס (August Ferdinand Möbius) בסוף המאה ה-19.

הפיתול של הרצועה שנעשה לפני חיבור הקצוות הוא הסיבה לכך שמתקבלת רצועה עם צד אחד וקצה (שפה) אחד בלבד. אפשר להבין את זה מהציור הבא:

בציור רואים שכל אחד משני הקצוות מחובר לפינה הנגדית של הקצה השני, כך שכאשר מדביקים את הרצועה בצורה של טבעת מביוס, הוא הופך להמשכו של הקצה הנגדי – וכך יוצר קצה אחד ארוך. צריך לחשוב על זה קצת כדי ממש להבין.

מאותה סיבה גם שני צידי הרצועה שמוצגת בניסוי זה מתנהגים בצורה דומה.

כשלוקחים רצועת נייר, מפתלים אותה מספר זוגי של חצאי קיפול ומדביקים אותה בצורה טבעתית, מתקבלת טבעת שיש לה שני צדדים ושתי שפות. למשל, אם נדביק רצועה בלי שום חצאי-קיפול (0 הוא מספר זוגי) נקבל טבעת רגילה. אם נחתוך לאחר מכן רצועה כזאת במרכזה נקבל תמיד שתי טבעות. עם זאת, אם מספר חצאי הקיפולים יהיה שניים, הטבעות תהיינה מחוברות, ובמספר קיפולים גבוה יותר אף יופיעו בהן קשרים.

לעומת זאת, כשלוקחים רצועת נייר, מפתלים אותה מספר אי-זוגי של חצאי קיפול ומדביקים בצורה טבעתית, מתקבלת טבעת עם צד אחד בלבד ושפה אחת בלבד. רצועה שמודבקת עם חצי קיפול אחד, למשל, תיצור טבעת מביוס. אם נחתוך רצועה כזאת במרכזה נקבל תמיד טבעת אחת. גם כאן, אם נעשה מספר קיפולים גבוה יותר יופיעו בטבעת קשרים.

כדי להבין את העניין באופן אינטואיטיבי, אפשר לחשוב על זה שהפיתול בעצם גרם לכך שנחבר את הקצה האחד של חצי רצועה לקצה של חצי הרצועה השנייה ולהפך, והתוצאה היא טבעת אחת.

עוד הסבר, מכיוון נוסף: אם גוזרים רצועה פתוחה (לא טבעת) באמצע - מקבלים שני חצאי רצועה (ברור). עכשיו, אם מפתלים רצועה ומדביקים לצורה של טבעת, ואחר כך גוזרים, זאת פעולה שוות ערך לכך שניקח שני חצאי רצועה, ונחבר קצה אחד של חצי רצועה לקצה של חצי הרצועה השנייה ולהפך, והתוצאה היא טבעת אחת.

מעניין לציין

גם הטבעת שמתקבלת אחרי הגזירה תהיה מפותלת. גזרו גם אותה לחצי ותקבלו דברים מעניינים! מומלץ להתחיל עם טבעת עבה יחסית, כדי שתוכלו לגזור אותה לחצאים פעם, ועוד פעם, ואפילו עוד פעם. אתם מוזמנים לכתוב לנו מה קיבלתם.

גם סמל המחזור הבינלאומי הוא בעצם רצועת מביוס.

בנוסף, אם קסמים מתמטיים כאלה קוסמים לכם, אתם מוזמנים להצטרף לתוכניתנו מתמטיקה בהתכתבות.