משולש בלתי אפשרי

אנחנו, במכון דוידסון לחינוך מדעי, רוצים להאמין שאנחנו אנשים הגיוניים בדרך כלל. ובכל זאת בניסוי הבא בחרנו להדגים איך להכין משולש לא הגיוני ובלתי אפשרי, מלגו.

ציוד

• 2 לבני לגו ארוכות

• 5 לבני לגו ריבועיות קצרות

• מצלמה (אפשר גם בטלפון)

הניסוי

את מהלך הניסוי אפשר לראות בסרטון:

הסבר

בניסוי חיברנו שתי לבני לגו ארוכות ומגדל של לבני לגו קצרות ריבועיות, לצורה פתוחה שנראית בהתחלה לא מעניינת במיוחד. בעזרת משחק יצירתי בזווית המצלמה קיבלנו את האשליה האופטית שמציגה לכאורה כאילו נוצר משולש סגור. 

את המשולש הזה, שמכונה משולש פנרוז, הציג לראשונה האמן אוסקר רטרסוורד (Reutersvärd) בשנת 1934. המשולש קיבל את שמו כעשרים שנה לאחר מכן, בעקבות מאמר מדעי שפרסמו על אודותיו הפסיכיאטר ליונל פנרוז (Penrose) ובנו הפיזיקאי זוכה פרס נובל רוג'ר פנרוז. במאמר הם כינו אותו "חפץ בלתי אפשרי".

משולש פנרוז | מקור: art-sonic, Shutterstock

משולש פנרוז נחשב בלתי אפשרי כי בעולם התלת-ממדי שאנחנו מכירים, שבו שלושת הממדים – אורך, רוחב וגובה – מאונכים זה לזה, אי אפשר ליצור אותו. לפי הגיאומטריה האוקלידית, כלומר חוקי הגיאומטריה ה"רגילים" שאנו לומדים בבית הספר, משולש הוא צורה שמורכבת משלושה ישרים שמחוברים ביניהם בשלושה קודקודים, וסך הזוויות בו הוא 180 מעלות. אם אחת הזוויות היא זווית ישרה של 90 מעלות, שתי הזוויות הנותרות צריכות להתחלק ביניהן ב-90 המעלות הנותרות. לפיכך, כל אחת מהן תהיה זווית חדה, כלומר קטנה מ-90 מעלות.

אבל במשולש פנרוז כל צלע יוצרת זווית ישרה עם שכנתה, כלומר כל הצלעות מאונכות זו לזו. הבה נבחן את התכונות של הצורה שבנינו: נניח אותה על שולחן שצמוד לקיר, או על פינת הרצפה והקיר. נניח את הצורה שלנו כך שהצלע התחתונה מונחת על משטח השולחן או הרצפה, הצלע האמצעית נשענת זקופה על הקיר והצלע השלישית צמודה לקיר ומקבילה לרצפה. 

כדי לסגור משולש, שתי הצלעות הפתוחות צריכות להיפגש – אבל לא משנה כמה נאריך את שתיהן, הן לא ייפגשו לעולם. הן לא יכולות להיפגש, מכיוון שהצלע הראשונה נמצאת במישור השולחן או הרצפה, והצלע השלישית נמצאת במישור שמקביל לשולחן. מישורים מקבילים לא נפגשים לעולם, אלא נשארים תמיד באותו מרחק זה מזה.

החפץ הבלתי אפשרי שבנינו מתאפשר רק הודות לשרטוטים מתוחכמים או זוויות צילום שמהתלות בתפיסת הראייה התלת-ממדית שלנו. התמונה הדו-ממדית שמתקבלת בצילום גורמת למוח שלנו להסיק שבעולם התלת-ממדי שהיה מול המצלמה בעת שתיעדה את התמונה, המשולש הבלתי אפשרי שלנו היה סגור.

החוקים הגיאומטריים שדיברנו עליהם תקפים לעולם התלת-ממדי המוכר לנו, שבו האורך, הרוחב והגובה מאונכים זה לזה. יש במתמטיקה גם מרחבים אחרים, פחות אינטואיטיביים, שבהם דווקא אפשר להגדיר גם את הצורה הבלתי אפשרית של משולש פנרוז. 

בחזרה לעולם התלת-ממדי הרגיל, פנרוז האב ופנרוז הבן הציגו גם את מדרגות פנרוז הבלתי אפשריות, שנראות כמו עלייה אינסופית או ירידה אינסופית, בהתאם לכיוון המבט.

יש עוד חפצים בלתי אפשריים כאלה. נסו לחשוב על צורות נוספות ששוברות את החוקים.

מדרגות פנרוז | מקור: kristnu, Shutterstock