הקוד הסודי של
האצטרובלים

ציוד

• אצטרובל

• טוש צבע

הניסוי

את מהלך הניסוי אפשר לראות בסרטון:

הסבר

בפעם הבאה שאתם מטיילים בטבע ורואים אצטרובל על הארץ, הרימו אותו והתבוננו. תגלו בוודאי שהקשקשים שלו מסודרים בספירלות שיוצאות מתחתית האצטרובל כלפי מעלה. אם תשימו את האצבע על קשקש בתחתיתו ותמשיכו לקשקשים הבאים אחריו במסלול, תקבלו ספירלות עולות. אפשר לצבוע את המסלולים כדי לראות אותם בבירור. בכל אצטרובל יש ספירלות משני סוגים: ספירלות שמאליות, אם בחרנו לנטות שמאלה מכל קשקש, וספירלות ימניות, אם בחרנו לנטות ימינה.

נספור כמה ספירלות הצלחנו ליצור בכיוון אחד וכמה בכיוון השני. נגלה שברוב המקרים מספר הספירלות יהיה 5, 8 או 13. אלה אינם מספרים מקריים. המספרים האלה הם חלק מסדרת פיבונאצ'י.

את סדרת פיבונאצ'י תיארו לראשונה מתמטיקאים הודים, אבל היא קיבלה את שמה מלאונרדו מפיזה, הידוע גם בתור פיבונאצ'י (Fibonacci, 1250–1170), שהציג אותם למערב. סדרת מספרים היא אוסף מספרים שמסודרים זה אחר זה. בחלק מהסדרות אפשר למצוא חוק שקובע את המספר הבא ברשימה. 

המספר הראשון בסדרת פיבונאצ'י הוא 0 ואחריו בא 1. קיים חוק שמגדיר את שאר המספרים בסדרה: כל מספר הוא סכום השניים שקדמו לו. המספר השלישי הוא 0+1=1, המספר הרביעי הוא 1+1=2, המספר החמישי הוא 1+2=3, המספר השישי הוא 2+3=5, המספר השביעי הוא 3+5=8, השמיני הוא 8+5=13, והנה קיבלנו את מספרי הספירלות של האצטרובלים.

הסדרה היא אינסופית, והמספרים הראשונים בה הם:

 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

אתם מוזמנים לחשב את המספרים הבאים.

מספרים מהסדרה הזו מופיעים במקומות נוספים רבים בטבע, למשל בספירלות של גרעיני החמניות ומספר עלי הכותרת של פרחים רבים.

ספירלות לשני כיוונים בחמנייה | צילום: Min C. Chiu, Shutterstock

לסדרה יש גם תכונה גיאומטרית: נצייר ריבוע שאורך הצלע שלו 1. נצייר לצידו ריבוע נוסף שאורך הצלע שלו 1. הצמדה של שני הריבועים האלה יוצרת מלבן שאורך הצלע הארוכה שלו הוא 2. לאורך הצלע הזו נצייר ריבוע שאורך הצלע שלו הוא 2. קיבלנו מלבן שאורך הצלע הארוכה שלו הוא 3. נצייר לאורך הצלע הזו ריבוע שאורך הצלע שלו הוא 3, ונקבל מלבן שאורך הצלע הארוכה שלו הוא 5. אם נמשיך לפי ההוראות האלה, ובכל פעם נוסיף לאורך הצלע הארוכה של המלבן שנוצר ריבוע שצלעו באורך הצלע הזו, נקבל מלבנים שהצלע הארוכה שלהם היא באורך המספר הבא בסדרת פיבונאצ'י.

כל הדרכים מובילות לפיבונאצ'י

מה שטח המלבן המתקבל בכל צעד? מצד אחד, שטח המלבן הוא סכום השטחים של הריבועים שמרכיבים אותו, כלומר סכום מספרי פיבונאצ'י בחזקת 2. למשל, שטח המלבן בשרטוט למטה הוא: 1²+1²+2²+3²+5²+8². מצד שני, שטח המלבן הוא מכפלת אורכי הצלעות שלו. הצלע הקצרה מורכבת מפאות של ריבוע שצלעו 5 וריבוע שצלעו 3, ולכן הצלע הקצרה היא באורך 8. הצלע הארוכה מורכבת מפאות של ריבוע שצלעו 5 וריבוע שצלעו 8, ולכן הצלע הארוכה היא באורך 13. כלומר, שטח המלבן הוא גם 8X13, מכפלת שני מספרים עוקבים בסדרת פיבונאצ'י.

מלבנים מסדרת פיבונאצ'י. | מקור: Romain, Wikipedia

 חוקיות נוספת בסדרת המספרים היא היחס בין שני מספרים עוקבים בסדרה.

8/5=1.6, 13/8=1.625, 21/13=1.615...
ככל שנמשיך למספרים גבוהים יותר בסדרה, נתקרב ליחס 1.618 המכונה גם יחס הזהב. יחס הזהב מופיע פעמים רבות בטבע גם בצמחים.

מדוע מספרי פיבונאצ'י מופיעים בסידורים של עלי פרחים או קשקשי אצטרובלים? זה סידור שמאפשר למספר הרב ביותר של עלים או קשקשים להצטופף יחד, כך שהעלים או הקשקשים יסתירו כל אחד מהם כמה שפחות. עלים יחפשו כמות גדולה ככל האפשר של שמש, מים או כל משאב חיוני אחר, ולכן כדאי ששכניהם יסתירו אותם כמה שפחות. אם הזווית בין שני עלים סמוכים תהיה שבר פשוט, לדוגמה 3605, אחרי חמישה עלים יושלם מעגל, והעלה הראשון יסתיר באופן מלא את השישי. אם השבר יהיה 3607, אחרי שבעה עלים נשלים את הסיבוב.

אם הזווית היא מספר שאי אפשר לייצג בשבר, כלומר מספר אי רציונלי, העלים הצומחים זה לצד זה ימלאו שטח גדול יותר ולא יכסו זה את זה. כאשר הזווית הזו היא יחס הזהב, עלים רבים ככל האפשר מסתדרים כך, ונוצרות הספירלות מסדרת פיבונאצ'י. אם שבר מייצג את הזווית בין העלים, כשהעלים ישלימו סיבוב הם יתחילו להסתיר זה את זה

בפעם הבאה שאתם רואים בצד הדרך פרח, שיח, או כל צמח אחר בעל צורה מעניינת, דעו שאולי צורתם מגלמת חוקיות סודית.