בבלוגים האחרונים עסקנו במספרים ראשוניים, וגם הפעם החלטתי להמציא בעיה בנושא, אך לפניה, הבה נחזור לשאלה: מהם מספרים ראשוניים?
בוודאי תשיבו שאלה מספרים שמתחלקים רק בעצמם וב-1. אכן, זו תשובה נכונה ומקובלת, אך אולי היא מחמיצה את העיקר – הרי אנו יכולים להגדיר קבוצות רבות בצורה דומה, לדוגמה, "קבוצת כל המספרים הריבועיים", "קבוצת כל המספרים המתקבלים ממכפלה של שלושה מספרים שונים" וכו'. אם כך- מה כל כך מיוחד בקבוצת הראשוניים?
אחרי הרהור קצר תוסיפו בוודאי את המשפט "כל מספר טבעי הוא מכפלה של מספרים ראשוניים". כלומר, הראשוניים הם אבני הבניין שיוצרות את כל מערכת המספרים בעזרת פעולת הכפל! (לזה דרוש רק תיקון קטן: יש להוסיף את המספר 1, שאינו מוגדר ראשוני).
אמנם אפשר לטעון שגם קבוצת כל האי-זוגיים בצירוף המספר 2 יוצרים את כל הטבעיים, אך קל לראות שהקבוצה הזו כוללת את כל המספרים הראשוניים, ושכל השאר הם תוספת מיותרת לצורך בניית הטבעיים! כלומר, הראשוניים הם קבוצה "חסכונית" יותר.
וכעת נשאלת השאלה: האם יש קבוצה חסכונית יותר ממנה?
התשובה חדה וברורה: אין!
אם תוציאו מקבוצת הראשוניים מספר מסוים, לא תוכלו לקבלו אותו על ידי מכפלה של מספרים ראשוניים אחרים. העובדה הזו הופכת את המספרים הראשוניים למה שמוגדר במתמטיקה "יוצרים בלתי תלויים", כלומר, אי אפשר לבטא אחד מהם בעזרת האחרים. שום קבוצה חלקית של הראשוניים לא תיצור את כל המספרים הטבעיים!
בנוסף, קיימת רק דרך אחת ויחידה להביע מספר טבעי כמכפלה של ראשוניים, פרט כמובן לסדר הכופלים. למשל, לא ייתכן ש-7*13*61= 5*17*59.
תכונה זו, של הצגה יחידה של מספר, אינה מובנת מאליה. נמחיש זאת על ידי הדוגמה הבאה: אנו רגילים להצגת מספרים בשיטה העשרונית, ואכן לכל מספר יש הצגה אחת ויחידה בשיטה זו. איננו יכולים לכתוב מספר – למשל 37 – גם בספרות עשרוניות אחרות. אך אנו יכולים לכתוב אותו בשיטה הבינארית: 100,101. אולי בין המספרים הטבעיים מסתתרת מערכת אחרת של יוצרים טבעיים בלתי תלויים שתוכל להחליף את המספרים הראשוניים, כשם שהמספרים הבינאריים יכולים להחליף את המספרים העשרוניים?
והתשובה שוב חדה וברורה: אין!
בגלל זה המספרים הראשוניים הם מערכת כה ייחודית וחשובה, שדורות על גבי דורות של גדולי המתמטיקאים הקדישו לה את חייהם המדעיים!
ועתה, לחידה שהכנתי לכם:
נסו למצוא מערכת יוצרים בלתי תלויה של שברים מהצורה 1/m (כאשר m יכול להיות כל מספר טבעי) כך שיהיה ניתן לקבל כל שבר שהוא, למשל 134/65, על ידי חיבור וחיסור של איברים מהמערכת.
זו אינה שאלה קלה, וכדי לפתור אותה יש לדעת את המשפט הבא: אם r ו-q הם שני מספרים זרים (כלומר: אין להם מחלק משותף), אזי אפשר למצוא a,b שלמים כך ש: ar+bq=1.
רמז: ל-m יש קשר למספרים הראשוניים.
רמז נוסף: יהיו c,d שני מספרים זרים. איך תוכלו להרכיב מ- 1/cו-1/d את 1/cd ?
בהצלחה!
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
