בבלוג 67 שאלתי האם ניתן להרכיב לפחות מספר טבעי אחד משברים מהטיפוס a/p, כאשר p הוא מספר ראשוני שאינו מחלק את a?
לפני שנתמודד עם השאלה, ניסוחה מבהיר לנו בפני מה אנו עומדים: אם נוכיח את קיומו של הרכב אחד – נניח שסכומו 5 – ענינו על השאלה. ויותר מכך: נוכל לקבל כל כפולה של 5 על ידי הכפלה של כל a באותו גורם.
לכן, אם נצליח להרכיב את המספר 1, נוכל להרכיב כל מספר. אולם אם ניכשל בהרכבת מספר מסוים, אין זה אומר שאי אפשר להרכיב מספר אחר – ואפילו כפולה של המספר שבו נכשלנו!
לכן, כדי להוכיח שאין לנו אפשרות להרכיב מספר טבעי, עלינו להוכיח את חוסר האפשרות לגבי כל מספר שהוא, וזה שונה מהוכחה חיובית שבה עלינו למצוא מספר יחיד שניתן להרכבה.
שונה, אך במקרה שלנו זה המצב (אין אפשרות). הנה לכם הוכחה בדרך השלילה של חוסר האפשרות לגבי מספר כלשהו:
נניח שקיים מספר טבעי b שאפשר להרכיב משברים כאלו:
a1/p1+a2/p2+…+an/pn=b , כאשר כל a הוא שלם, חיובי או שלילי.
נכפול את שני האגפים במכפלת כל ה-p ונקבל (אחרי צמצום):
a1p2…pn+a2p1…pn+…+anp1p2…pn-1=bp1p2…pn.
נעביר לאגף ימין את כל האיברים מאגף שמאל, מלבד האיבר הראשון:
a1p2…pn=bp1p2…pn–(a2p1…pn+…+anp1p2…pn-1).
כעת כל איברי אגף ימין מתחלקים ב-p1, ואילו אגף שמאל של המשוואה אינו מתחלק! ומכאן, אי אפשר להרכיב מספר טבעי מאיברים מהצורה a/p. מה שרצינו להוכיח!
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
