בבלוגים רבים הבאנו לידי ביטוי קו מרתק בהצגת בעיות מתמטיות. ישנן בעיות שמנוסחות ומיוצגות במונחים ובסמלים הידועים רק ליודעי ח"ן, אך עבור האדם הפשוט שאינו פרופסור למתמטיקה הן נראות כסינית, גם אם ברגע שאדם מסוים יודע לקרוא את ה"סינית" הזאת הן יכולות להיות פשוטות יחסית עבורו.
לעומתן קיימות בעיות מפורסמות שמנוסחות "בלשון בני אדם" ומובנות לכל תלמיד בתיכון ולעתים אף ביסודי – ובכל זאת פתרונן יכול להיות מבריק אך פשוט ומובן, או שפתרונן כה סבוך שאלפי מתמטיקאים נזקקו למאות שנים כדי לפצח אותן. דוגמה לפתרון פשוט היא למשל הוכחת קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, ואילו משפט פרמה הוא דוגמה לפתרון סבוך.
אך קיים גם סוג שלישי: בעיות שמנוסחות בפשטות אך עדיין לא נמצא להן פתרון. למשל, האם יש אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים תאומים (שההפרש ביניהם הוא 2)?
אנו מכירים זוגות רבים כאלה במספרים הקטנים: (5,3), (7,5), (13,11), (19,17) וכן הלאה. בהמשך צפיפותם יורדת לבערך זוג אחד בכל עשירייה עד 110, ואחרי כן נראה שהיא ממשיכה לרדת – אך האם זה סימן שבשלב מסוים הם ייעלמו?
אולי בין קוראי בלוג זה יימצא ברבות הימים הפותר, אך בינתיים עלה בדעתי להמציא בעיה שמנוסחת בפשטות יחסית, עם דמיון מסוים לסגנון הבעיות שהוזכרו, כדי שתחליטו אתם למי משלושת הסוגים היא שייכת:
כידוע, כל מספר שלם אפשר לפרק למכפלת חזקות של מספרים ראשוניים. נתבונן בכל השברים מהצורה a/p, כאשר p הינו מספר ראשוני כלשהו ו-a אינו מתחלק ב-p. למשל 1/2, 14/3, 8/17 וכולי.
ושאלתי: האם ניתן להרכיב בעזרת חיבור וחיסור של איברים מהטיפוס a/p את כל המספרים הטבעיים? או אולי נסתפק תחילה בבקשה צנועה יותר: האם אפשר להרכיב מהם לפחות מספר טבעי אחד כלשהו?
כדי להעשיר את חשיבתכם, הרי לכם העובדות הבאות:
- בעזרת שברים כלליים אין בעיה להרכיב מספר טבעי. לדוגמה, 1/2+1/3+1/6=1.
- שני השברים הראשונים הם מהטיפוס a/p. אם נוכל להציג את 1/6 בעזרת חיבור וחיסור של איברים מהטיפוס הזה, הבעיה תיפתר!
- ואכן, לדוגמה: 9/35=2/5-1/7, ואם נרכיב שברים מסוג 9/35 שסכומם יהיה טבעי, נחליף כל שבר כזה במרכיבים מהסוג a/p והבעיה נפתרה.
האמנם? נסו להחליף את 1/6במרכיביו וראו מה קורה. אחר כך נסו לענות על הבעיה הכללית. ההוכחה אינה קלה, אך היא גם לא "בשמים". התשובה בבלוג הבא.
בהצלחה,
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
