תורתם אומנותם

אלברט איינשטיין הביא לעולם לא רק מדע פורץ דרך, אלא גם שלל ציטוטים שמיוחסים לו. את חלקם הוא באמת אמר; אחרים... ובכן, לא לכל דבר צריך להאמין. אחת האמרות המזוהות איתו היא "המדענים הגדולים ביותר הם גם אמנים". אך למרות הפיתוי הרב להנהן ולקבל את הקביעה כלשונה – כי בכל זאת, "איינשטיין אמר!" – האמת המרה היא שהציטוט הזה לא בהכרח מחובר למציאות בחלק ניכר מתחומי המדע.

למעשה, מדעי הטבע ושדה היצירה האמנותית נבדלים זה מזה כמעט בכל מובן. בהכללה, בעוד המדע הוא שפת הרציונל האובייקטיבית, האמנות היא שפת הרגש וההבעה האישית; בעוד המדע שואף לתאר את האמת בלי משוא פנים, רבים מתחומי האמנות לוקחים את קהלם אל מחוזות הדמיון והחלום.

ובכל זאת, אפשר למצוא כמה קווי דמיון בין מדע לאמנות. למשל שניהם דורשים יצירתיות ומעוף, שניהם נכסים רבי ערך של התרבות והידע האנושיים, שניהם מבוססים פעמים רבות על שיקולים אסתטיים, ובשניהם יש להשקיע מאמץ רב כדי להגיע לתוצאות מרשימות וחשובות מספיק. מעל לכול, נדמה כי שניהם מחברים בין בני אדם.

במרוצת הדורות נוצרו ממשקים לא מעטים בין המדע לאמנות. מדענים רבים שלחו ידם במכחול, בפסנתר או במצלמה, בחיפוש אחרי הפוגה רגעית מלחצי העבודה המדעית או פשוט כדרך נעימה לבטא את עצמם. אחרים השתמשו בכלים שרכשו ופיתחו במהלך עיסוקם המדעי לצורך חקר כמותי של אמנות. חישבו למשל כמה מתמטיקה טמונה בתורת ההרמוניה, או איך אפשר להשתמש בכלים הנדסיים לניתוח אותות מוזיקליים. ועוד לא דיברנו על האדריכלות ועל התמהיל הייחודי שהיא מציגה בין מדע מדויק לאמנות.

"המדענים הגדולים ביותר הם גם אמנים", כך אמר אלברט איינשטיין | איור: מריה גורוחובסקי באמצעות מחולל תמונות Stable Diffusion

ימי התום של סלבדור דאלי

אמנים לא מעטים התעניינו בפיזיקה ובמתמטיקה. בלט ביניהם הצייר הספרדי סלבדור דאלי (Dali), שהיה מגדולי הציירים הסוריאליסטיים של המאה ה-20. בשנות ה-40, בעקבות הטלת פצצות האטום על הערים היפניות הירושימה ונגסקי, הלכה וגברה ההתעניינות של דאלי בפיזיקה. ב-1954 הוא הציג את ציורו "התפוררות התמדתו של הזיכרון", שהיה עיבוד ליצירתו המפורסמת ביותר "התמדתו של הזיכרון" מ-1931, הידועה גם כ"השעונים הנמסים" וקל לקשור בינה לבין תורת היחסות. השוני המרכזי בין הציורים הוא הופעתה של מטריצת קוביות ענקית שמייצגת את התלהבותו של האמן מפיזיקת החלקיקים וממכניקת הקוונטים; זה היה למעשה דימוי של אטומים שאינם נוגעים זה בזה ומרכיבים את החומר. בציורים מאוחרים שלו אפילו הופיעו גדילים שמזכירים מאוד את מבנה ה-DNA, ולא בכדי.

דימויים של פיזיקת חלקיקים ומכניקה קוונטית. "התפוררות התמדתו של הזיכרון" מוצגת במוזיאון סלבדור דאלי בפלורידה, ארצות הברית | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

לממשקים בין המדע והאמנות תורמים פעמים רבות קשרי חברות אישיים. אחד מחבריו של דאלי היה המתמטיקאי הצרפתי רנה תום (Thom), שהניח את היסודות לתחום אקזוטי במתמטיקה בשם "תורת הקטסטרופות". בקיצור נמרץ נסביר כי התחום הזה עוסק בקיפולים ובקימוטים של מישורים ומרחבים בעלי מספר רב של ממדים, וכי יש לו יישומים מרתקים במכניקה ובאופטיקה.

תום מצא כי במערכות ארבע-ממדיות יש שבעה סוגים אפשריים של קימוטים, שלכל אחד מהם הוא העניק שם ציורי: קיפול, חרמש, זנב-סנונית, פרפר, קיפול טבורי אליפטי, קיפול טבורי היפרבולי וקיפול טבורי פרבולי. והינה, ב-1979 התקבל דאלי לאקדמיה הצרפתית לאמנויות יפות. הייתה זו עבורו הזדמנות פז לחלוק עם הקהל את התרשמותו מעבודותיו של תום, שהיה אז בשיא הקריירה שלו כמתמטיקאי: "זוהי התיאוריה האסתטית היפה ביותר בעולם", אמר.

שנים אחדות לאחר מכן, בשנת 1983, הגדיל דאלי לעשות כאשר הציג ציור שכל כולו מחווה לתיאוריה של תום: ציורו "זנב הסנונית (סדרה של קטסטרופות)" שמתאר אחד-לאחד את זנב הסנונית המתמטי מהתיאוריה של רנה תום. אלמנט נוסף בציור הוא סימן האינטגרל, שבמקרה גם מופיע בעולם המוזיקה כחרך האופייני כל כך המעטר את תיבת התהודה של הכינור. בדיעבד, התברר שהייתה זו עבודתו האחרונה של דאלי, שבעת יצירתה היה הלום צער על מות רעייתו האהובה גאלה וסבל מרעד בלתי רצוני חמור בידו. הציור מוצג כיום במוזיאון דאלי בעיר הולדתו פיגרס.

מבוססת על תורת הקטסטרופות של רנה תום. "זנב הסנונית (סדרה של קטסטרופות)" מוצגת במוזיאון דאלי בפיגרס, ספרד | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

אמנות הכאוס

אריק הלר (Heller) מאוניברסיטת הרווארד, כיום בעשור השמיני לחייו, הוא כימאי תיאורטי ופיזיקאי שעוסק בחקר מכניקת הקוונטים התלויה בזמן ותורת הכאוס. בצד זה, אך באופן לא צדדי כלל, הלר עוסק גם באמנות דיגיטלית והופך תוצאות מחקריות כמותיות ליצירות אסתטיות וססגוניות. בכך הוא לא רק מבטא את תפיסתו האישית לעולמות התוכן העשירים של הפיזיקה, הכימיה והמתמטיקה, אלא גם מנגיש אותם בדרך יחידה במינה.

עולמה של תורת הכאוס הוא מקור לא אכזב לשלל תבניות ודוגמאות יפהפיות מבחינה חזותית. מתמטיקאים, פיזיקאים וכימאים תיאורטיקנים העוסקים בתחום הכאוס מנסים לכמת את מהלכן של מערכות דינמיות שרגישות מאוד אפילו לשינויים עדינים בתנאי ההתחלה שלהן, כגון המהירות והמיקום שלהן. מערכות כאלה קיימות בתחומים רבים, למשל חיזוי מזג האוויר, כלכלה או תנועה של נוזלים במערבולות, וחוקרי כאוס מוצאים בהן תבניות מרתקות, ולא פעם גם בעלות אסתטיקה מיוחדת.

אחת המערכות הבסיסיות שנחקרו בתחום הזה היא "המערכת של הנון-היילס" (Hénon-Heiles), שמדמה את תנועתם של שני כוכבים עם הפרעה קטנה שיוצרת הכבידה של כוכב שלישי. מתברר ששינויים קלים שבקלים במהירות ובמיקום ההתחלתיים של אחד מהגופים במערכת, עשויים לשנות את תנועתם מתנועה מחזורית, קצובה ומסודרת לתנועה פראית בעליל, כלומר כאוטית. המסלולים שמתקבלים משתרגים בצורה מהפנטת.

גם מקומם של הפרקטלים – כנראה התבנית החזותית המוכרת ביותר בתחום הכאוס – לא נפקד. פרקטל הוא צורה שככל שנגדיל אותה עדיין נראה בה פרטים קטנים נוספים שחוזרים על עצמם שוב ושוב. הפרקטל המפורסם ביותר הוא קבוצת מנדלברוט, המתארת אוסף של מספרים מרוכבים, שכאשר מייצגים אותה בצורה גרפית מקבלים תבנית מחזורית נאה מאוד.

מתאר בצורה גרפית אוסף של מספרים מרוכבים. פרקטל מנדלברוט בגרפיקת מחשב | Alfred Pasieka, Science Photo Library

בעיני המתבונן?

כאן עולה השאלה: מה למדע וליופי? על סמך מה אנחנו מייחסים תכונות אסתטיות לפיזיקה ולמתמטיקה? נראה שחלק משמעותי מהתשובה קשור לסימטריה. סימטריה היא מרכיב חשוב במה שאנחנו בני האדם תופסים כ"יפה", כפי שהמחישו למשל מחקרים ומבחנים העוסקים ביופיים של פנים אנושיות. מכיוון שהן האמנות והן הפיזיקה והמתמטיקה עושות שימוש רב בסימטריה, אנשים נוטים למצוא ערך אסתטי גם במשוואות סימטריות, ובתוצאות והייצוגים שלהן.

משוואות מקסוול, שנוסחו במחצית המאה ה-19 ומתארות את תורת האלקטרומגנטיות הקלאסית – שדות, מטענים וזרמים – נחשבו מאז ומתמיד בעלות יופי מתמטי, בעיקר בזכות המבנה הסימטרי שלהן: המבנה של המשוואות המתארות את הקשר בין השדה החשמלי למטענים ובין השדה המגנטי לזרמים הוא זהה. גם משפט נתר, שניסחה בראשית המאה הקודמת הפיזיקאית היהודייה אמי נתר (Nöether), מבוסס כולו על סימטריה ונחשב יפה במיוחד.

קשר הדוק נוסף בין מתמטיקה לאמנות מצוי ביחס הזהב, שנוכח בעוצמה רבה ביצירות אמנות ובמבנים אדריכליים כבר מאות בשנים – ועוד קודם לכן בטבע. היחס הזה, שהוא מספר אי-רציונלי שקרוב ל-1.618, ריתק אליו מאז ימי יוון העתיקה אמנים ומלומדים גם יחד, מלאונרדו דה וינצ'י ועד מיודענו סלבדור דאלי, מיוהנס קפלר ועד דן שכטמן. השימוש בו ביצירת פרופורציות בין צלעות, פאות ועצמים גיאומטריים נוספים מייצג אסתטיקה נעלה, שיש אפילו מי שמכנים אותה אלוהית. לא בכדי נכתבו מאות ספרים על היחס הזה, המוכר שבהם של מריו ליביו.

ספירלת הזהב מקיימת את יחס הזהב ומשמשת רבות באדריכלות ובאמנות. גרם מדרגות לולייני | maforche, Shutterstock

מרצפות ותבניות

קשה להימנע מלהגדיר את יצירותיו של הצייר ההולנדי מאוריץ קורנליס אֵשֶׁר (Escher‏) כציורים מתמטיים. תחריטיו והדפסיו הסוריאליסטיים מתכתבים בבירור עם רעיונות עמוקים בתיאוריה המתמטית – ובכלל זה סימטריה, מושג האינסוף, ריצוף משטחים וצורות בלתי אפשריות. רעיונות מתמטיים מסוימים, בעיקר פרספקטיבה, כבר הופיעו לפניו בציורים מימי הביניים ואילך, אך אשר לקח אותם כמה צעדים הלאה באמנות שלו. 

אשר למד אדריכלות ועד מהרה נמשך לתחום העיצוב בהשפעת מורו היהודי שמואל ישורון דה מסקיטה (Jessurun de Mesquita), שלימים נרצח בשואה. בראשית שנות ה-20 של המאה הקודמת נשאה אותו החיבה לאסתטיקה גם לספרד, שם התרשם מאוד מארמון אלהמברה בגרנדה, שריד מפאר מימי השלטון המוסלמי. בשובו לשם ב-1934, בשל ומנוסה יותר, הוא נשבה בקסמי הגיאומטריה האדריכלית של הארמון, ובמיוחד במלאכת הריצוף מחזורי של משטחים. מכאןן נולדה ב-1937 יצירתו "מטמורפוזה 1" אשר מציגה לראשונה בעבודותיו דימוי של ריצוף.

האסתטיקה המתמטית של אשר. היצירה "מטמורפוזה 1" המוצגת במוזיאון אֵשֶׁר בהאג, הולנד | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל 

ציוריו של אשר בחנו את גבולות האפשר במשטחים דו-ממדיים. דרך משחקים בפרספקטיבה ובריצוף הוא הרבה להציג תהליכים של שינוי בתוך תבניות מחזוריות, למשל של דגים שהופכים בהדרגה לציפורים. בציורים אחרים הוא השתמש במשחקי פרספקטיבה ליצור תבניות אבסורדיות, כגון מדרגות שעולות ועולות ומגיעות לאותה נקודה שבה החלו, מבנים שאי אפשר לדעת אם המשטחים שבהם הם רצפה, קיר או תקרה, וצורות גיאומטריות בלתי אפשריות.

אשר המשיך להתעניין במתמטיקה כל ימיו, ושאב השראה גם מאחיו ברנד, שהיה גיאולוג באוניברסיטת ליידן ועסק רבות בגבישים. עשרים שנה אחרי הביקור באלהמברה הוא כתב למשל לגיאומטריקאי הבריטי-קנדי הרולד קוקסטר (Coxeter) כי את ההשראה לסדרת הציורים שלו "גבול מעגל", שבה התמקד בדרכים לרצף דִסקה, הוא קיבל ממאמר של קוקסטר בנושא סימטריה של גבישים וריצוף המישור. בציור הרביעי בסדרה, "שמיים וגיהינום" מ-1960, הציג אשר תבנית מחזורית של דמויות של מלאכים לבנים ושדים שחורים כלואים ביחד בתוך דִסקה. התבנית שהציג דימתה גם את רעיונותיו של המתמטיקאי הצרפתי א נרי פואנקרה (Poincaré) לגבי הגיאומטריה ההיפרבולית של ריצופי דסקאות, תחום שעוסק במרחבים "משונים" שחורגים מכללי הגיאומטריה האוקלידית המקובלת. באופן לא מפתיע, פואנקרה תרם רבות גם לתורת הכאוס.

במהלך הקריירה הממושכת שלו, האמנות של אשר לא נהנתה מהערכה רבה של הקהל, אפילו במולדתו הולנד. דווקא מדענים שנחשפו לעבודותיו הבינו היטב את הערך המוסף שלהן, שכן הן העניקו דרור חזותי לרעיונותיהם המופשטים. רק בשנת 1966, כשאשר היה כבר בן 70, חשף את יצירותיו לציבור הרחב המתמטיקאי וכותב המדע הפופולרי מרטין גרדנר (Gardner), האיש שהפיץ בין השאר את בשורת הטנגרם והפלקסגון. רק בהדרגה, זמן רב אחרי מותו, גבר העניין הציבורי בעבודותיו של האמן המעניין הזה, שידע לשלב בדרכו הייחודית אסתטיקה מדעית ואסתטיקה אמנותית גם יחד.   

"יש שלושה דברים שמרגשים אותי", אמר איתמר פרוקצ'יה מהמחלקה לפיזיקה כימית במכון ויצמן למדע עם זכייתו בפרס ישראל לשנת תשס"ט (2009), "יופי, קשר אמיתי עם בני אדם והעוצמה של המחשבה הטהורה. כשאתה לומד להכיר את העוצמה של המחשבה, זה הצעצוע הכי יפה שיש". נדמה כי רבים הפיזיקאים והמתמטיקאים שיסכימו עם דבריו אלה.

חוט שני שזור בין השכלתנות המדעית לרגשנות האמנותית. זהו חוט שקוף וחמקמק אך חזק כפלדה, שמקורותיו מובילים אל הימים הרחוקים של כתיבת המיתולוגיה היוונית, ואל תשע המוזות, אלות האמנויות ומכתירות הגיבורים. החיבור הזה רלוונטי היום כפי שהיה מאז ומעולם, ורע ומר יהיה לנו אם יאבד. מוטל על מדענים לזכור את חשיבותן של התרבות ושל אסתטיקה, לקיים שיח פורה עם רעיהם האמנים, לתת ביטוי לכמוס שביצירתם ולהניח מדי פעם לעיניהם להוביל אותם למחוזות השראה חדשים.