בתחום כה מורכב, שבנוי נדבך על נדבך, גם מה שנראה מובן מאליו במבט ראשון עלול אחרי חקירה מעמיקה להתגלות כשגיאה
חישבו על המושג "טריוויאלי". זה לא מושג מתמטי, ואין לו הגדרה מדויקת, אבל כשמסתובבים מספיק זמן בסביבת מתמטיקאים מתחילים להרגיש צורך פנימי עמוק להגדיר כל דבר, עד כדי כך שכמעט מאבדים את היכולת לדבר על דברים בלי להגדיר אותם קודם. אומרים שזאת אחת מהסיבות העיקריות לכך שמתמטיקאים מתקשים לדבר עם בני אדם.
אחת ההגדרות היפות ששמעתי לגבי מה נחשב טריוויאלי במתמטיקה אומרת שמדובר בכל טענה, משפט או הוכחה שסטודנט טוב לקראת סוף התואר הראשון במתמטיקה יכול להבין אם רק ישקיע בזה כמה שעות או ימים בודדים. אתם מבינים? מתוך אותו חלק קטן מהאוכלוסייה שהולך ללימודים גבוהים במתמטיקה, אנחנו צריכים לקחת את אותם אלה ששרדו היטב את תלאות התואר הראשון, ואחרי שנה-שנתיים של לימודים לתת להם לעבוד קשה במשך שעות רבות – רק אז אפשר להתחיל לגרד את הדברים הטריוויאליים. כל מה שקורה לפני זה? אפילו לא טריוויאלי.
העניין הוא שזאת טריוויאליות יחסית. כי זוהי הגדרה של מתמטיקאים. כן, יחסית לשלל הדברים שיש להבין ולדעת, הדברים הללו הם טריוויאליים. זאת לא הגזמה. מתמטיקה היא תחום הדעת האנושי עם העומק הגדול ביותר, במובן הכי מילולי של המילה. לא עומק במובן ערכי כלשהו, אלא פשוט ריבוי השכבות והנדבכים שהתחום מספק. כל אותם דברים שמתבססים על דברים שמתבססים על דברים וכך הלאה.
לריבוי הזה יש שלוש סיבות עיקריות. הראשונה היא היסטורית: המתמטיקה היא אחד מתחומי הדעת הקדומים ביותר שיש לנו. איננו יודעים באמת מתי ואיפה בני האדם התחילו לעסוק ברעיונות של צורות ומנייה. אנחנו אפילו לא יודעים אם זה קדם להיווצרות השפה או לא. מה שברור הוא שהיכולת הזאת טבועה בנו כבר דורות רבים.
הסיבה השנייה נוגעת לצד המעשי – איך העבודה המתמטית נעשית ומתפתחת. לפני כ-2,500 שנה, ביוון העתיקה, עיצב הפילוסוף והמתמטיקאי הקדום אוקלידס, בעבודה שהתנקזה, סוכמה וזוקקה בספרי "היסודות" שלו, את מנגנון ההתקדמות של המתמטיקה לעומק. בפשטות, השיטה היא זאת: לוקחים טענות ומוכיחים בעזרתן טענות אחרות. בום! ירדנו רמה אחת לעומק. עכשיו אפשר להמשיך ולהוכיח טענות נוספות על סמך אלה שכבר הוכחנו, וכך עוד ועוד ועוד.
עיצב את מנגנון ההתקדמות של המתמטיקה לעומק. אוקלידס, ומהדורת "היסודות" שלו בתרגום לאנגלית, 1570 | מקור: Royal Astronomical Society, Science Photo Library
ולבסוף, בניגוד להמון תחומי דעת אחרים, במתמטיקה אין מהפכות ואין פרדיגמות שזורקות לפח את את התיאוריה השלטת, ואיתה לעתים מאגר שלם של ידע, ומתחילות לבנות כמעט מחדש את תפיסת העולם שלנו. אדרבה, מה שהוכח – קיים וימשיך להתקיים, וההתקדמות נמשכת עוד ועוד בכיוון שהתווה לנו אוקלידס, בלי חזרות אחורה.
תשובות קשות לשאלות פשוטות
בשנת 1874 ניהלו ביניהם המתמטיקאים גאורג קנטור (Cantor) וריכרד דדקינד (Dedekind) חליפת מכתבים ערה. בהתכתבות שלהם הם החליפו זה עם זה רעיונות על אודות ההתפתחויות האחרונות בתיאוריה החדשה שניסח קנטור, הוגה תורת הקבוצות, העוסקת בקבוצות אינסופיות.
קנטור (משמאל) ודדקינד. שלוש שנים להוכיח שפרט טריוויאלי אינו נכון כלל | הספרייה הציבורית של ניו יורק, Science Photo Library
בפרט, שני המתמטיקאים היו טרודים בשאלת ההשוואה בין קבוצות אינסופיות – באיזו מהן יש יותר פרטים, כלומר איזה אינסוף גדול יותר. בשביל זה לא צריך לדעת לספור כמה פרטים יש בכל קבוצה, אלא מספיק לעשות התאמה. אם לכל אובייקט מהקבוצה הראשונה אנחנו יכולים להתאים בן זוג ייחודי מהקבוצה השניה וככה לעשות זוגות-זוגות מכל האיברים – אז שתי הקבוצות שקולות בגודלן. יש פה כמובן דיוקים ועידונים שצריכים להיעשות, אבל זה הרעיון הבסיסי.
במהלך התכתובת תהה קנטור על האפשרות להתאים בצורה הזאת את כל הנקודות הממלאות ריבוע עם כל הנקודות שנמצאות על הצלע שלו. בינואר 1875 הוא כתב לדדקינד כך: "נדמה לי שלענות על השאלה הזאת לא יהיה פשוט, אף על פי שהתשובה היא בבירור 'לא' – עד כדי כך שהוכחה נראית כמעט לא נחוצה".
כעבוד שלוש שנים הוכיח קנטור שהתשובה היא "כן", ושמה שנראה במבט ראשון טריוויאלי אפילו בעיניו של אחד מענקי המתמטיקאים, אינו כזה כלל וכלל. זיכרו את זה כשאתם עושים טעות במתמטיקה. זיכרו את זה כשהילדים שלכם עושים טעות במתמטיקה, גם אם זה בתרגיל שנראה לכם טריוויאלי. כל תרגיל וכל שאלה במתמטיקה נבנים נדבך על נדבך ונסמכים על שנים רבות של ידע ולימוד. קל מאוד להתבלבל, שכן האינטואיציה שלנו מתעתעת בנו לפעמים. קל מאוד לטעות – אפילו אם אתם גאורג קנטור.
