האם שדה הכבידה חזק יותר על פני השטח של כדור הארץ או במרכזו? מתניה

נוסח השאלה המלא: היכן שדה הכבידה יותר חזק: על פני כדור הארץ או סמוך למרכזו? כיצד זה משפיע על צפיפות החומר?

כוח המשיכה פועל תמיד בין זוגות גופים והוא פרופורציוני למסותיהם ולמרחק ביניהם על פי הקשר הבא:F = GMm/r2, כאשר r הוא המרחק בין מרכזי המסות של הגופים, m ו-M הן מסות הגופים ו-G הוא קבוע הגרביטציה האוניברסלי.

כאשר אנחנו מודדים את משקלו של עצם הנמצא על פני כדור הארץ אנחנו מודדים למעשה את הכוח בו נמשך העצם למרכז כדור הארץ: F=mg. אם נציב זאת בנוסחה הקודמת נקבל: g=GM/r2, כאשר g היא תאוצת הכובד על פני כדור הארץ. אם כך, נתוני ההתחלה שלנו הם כדלהלן:

- g, תאוצת הכובד על פני כדור הארץ, שווה בערך ל- 9.8m/s2 - G.

קבוע הכבידה האוניברסאלי, שווה בערך ל- 6.67*10-11Nm2/kg2 - M.

מסת כדור הארץ, שווה בערך ל- 6*1024kg - r.

רדיוס כדור הארץ, שווה בערך ל- 6,400km .

הנוסחא, g=GM/r², מראה שאם נגביה מעל פני כדור הארץ תאוצת הכובד תרד באופן הפרופורציוני לאחד חלקי המרחק בריבוע מהמרכז. אבל מה קורה לערכה של g בתוך כדור הארץ? לשם חישוב פשטני ביותר נניח כי כדור הארץ הוא בעל סימטריה כדורית (כאשר למעשה הוא אליפסה פחוסה, רחבה יותר בקו המשווה מאשר בקטבים), וכן שצפיפותו אחידה. מההנחה האחרונה נובע שהמסה בנפח מסוים שווה לנפח כפול הצפיפות (M = Vρ). הנפח של אותו כדור חלקי ניתן ע"י V=4/3π(r-h)3, כאשר h הוא העומק אליו הגענו. נציב זאת בנוסחא לחישוב תאוצת הכובד החדשה: g* = GM/(r-h)2 = G Vρ/(r-h)2 = 4/3 Gρ π(r-h)3/(r-h)2 = 4/3 Gρ π(r-h) .

כלומר g* פרופורציונית לרדיוס שבו אנחנו נמצאים. הגרף האדום להלן מסכם את חישובינו עד כה:

– רדיוס כדור הארץ R_Eתאוצת הכובד של כדור הארץ כפונקציה של המרחק ממרכזו.  M_E– מסת כדור  הארץ  

הגרף הירוק לעיל מציג תוצאה של חישוב מדוקדק יותר. ההנחה שצפיפות כדור הארץ קבועה היא הנחה גסה, כאשר למען האמת רוב מסתו כל כדור הארץ מרוכזת סמוך למרכזו. צפיפותו של קרום כדור הארץ היא בערך 2 g/cm3, ואילו צפיפותו של הגלעין הפנימי קרובה ל- 13g/cm3. ישנו רדיוס שבו תאוצת הכובד מקסימלית וערכה גדול בכ- 10% מערכה על פני כדור הארץ.

המבנה הפנימי של כדור הארץ

שורה תחתונה: עד כמחצית הדרך מפני השטח לגלעין כדור הארץ, תאוצת הכבידה דומה או אף מעט גבוהה יותר מהכבידה על פני השטח. ממחצית הדרך ועד מרכז הגלעין, תאוצת הכבידה יורדת במהירות. למעשה, אם כן, צפיפותו של החומר משפיעה על שדה הכבידה, ולא להיפך.

מאת: נועה זמשטיין
המחלקה לפיזיקה כימית
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה תמיד מתקבלות בברכה.