נוסח השאלה המלא: נניח שיש לנו שתי צורות דו-ממדיות שמהוות תמונות ראי זו של זו. במרחב דו-ממדי, אי אפשר לחפוף אותן, אך במרחב תלת-ממדי אפשר לחפוף אותן על ידי הפיכה של אחת מהן.
השאלה שלי – בהינתן שתי צורות תלת-ממדיות כיראליות, האם אפשר לחפוף אותן במרחב ארבעה-ממדי? ובאופן כללי – בהינתן שתי צורות n-ממדיות שמהוות תמונות ראי זו של זו, האם אפשר לחפוף אותן במרחב -n+1ממדי?
שלום עומר!
שאלת שאלה טובה, שמגלמת בעיה מתמטית סבוכה. אך קודם כל נעשה קצת סדר, כי במתמטיקה כמו במתמטיקה הגדרה מדויקת היא חצי הדרך להבנה.
שתי צורות נקראות "חופפות" אם קיימת ביניהן "איזומטריה". בפשטות, אפשר לומר שאיזומטריה היא העתקה שמשמרת מרחקים. כלומר אפשר לעבור מצורה אחת לשנייה באמצעות פעולות שמשמרות את המרחק (נורמה). הפעולות הללו הן סיבוב, הזזה ושיקוף. מסיבה זו, שני המשולשים שבתמונה דווקא חופפים. גם התרשים הדו-ממדי של שתי הידיים (בהמשך) מייצג צורות חופפות.
שני משולשים "הפוכים" אך בכל זאת חופפים.
אם ככה, מה זה בעצם כיראליות? כיראליות הוא משג מתמטי שמייצג תכונה מסוימת הקשורה לסימטריה. צורה שאינה זהה לשיקוף שלה נקראת כיראלית. השם נגזר מהמילה היוונית "כיר" (χείρ) שמשמעותה יד. שתי הידיים האנושיות הן הדוגמה המיידית לצורה שאינה זהה לצורת הראי שלה.
מימין: כפות ידיים תלת-ממדיות – כיראליות תלת-ממדית; משמאל: תרשים דו-ממדי של שתי ידיים - אלו צורות חופפות, והן כיראליות רק דו-ממדית.
בעיקרון, ההגדרה המתמטית בסיסית יותר, ולפיה כל צורה שאינה זהה לאף אחד מהשיקופים היא צורה כיראלית (במקרה זה זהה ממש, לא רק "איזומטרית"). הכוונה ב"אף אחד מהשיקופים" היא שגם בממדים גבוהים יותר, כמו שלושה וארבעה ממדים (או n -ממדים כפי ששאלת), אי אפשר לשקף את הצורה מסביב לאף ציר.
מסיבה זו, תכונת הכיראליות תלויה בממד שבו אנו דנים. שני המשולשים הם כיראלים במישור הדו-ממדי אבל אינם כיראלים במרחב תלת-ממדי מכיוון שאפשר לסובב אותם "דרך הממד השלישי" כפי שציינת. למעשה, אם נקרא למישור שעליו מצויירים המשולשים XY ולציר הגובה Z, נוכל לשקף את המשולש בציר Z, ולהישאר עם אותה צורה (מכיוון שהמשולש שטוח בציר הזה). לכן צורה דו-ממדית היא לא כיראלית במרחב תלת-ממדי.
ההכללה שביצעת היתה נכונה, ולכן צורה כיראלית תלת-ממדית פשוטה (כלומר גוף תלת-ממדי כיראלי) הופכת לא כיראלית בארבעה ממדים וכו'.
אך זה עדיין לא כל כך פשוט. טבעת מביוס, למשל, היא אובייקט דו-ממדי עם כיראליות תלת-ממדית. באופן דומה ניתן ליצור אובייקטים תלת-ממדיים במרחב ארבעה-ממדי שיהיה כיראליים ארבעה-ממדית.
הבעיה מתחילה כשמנסים להבין מהי בדיוק טבעת מביוס. כפי שהסברתי, מדובר באובייקט דו-ממדי, אך בניגוד למשל למעטפת של כדור, שגם היא אובייקט דו-ממדי במרחב תלת-ממדי, את טבעת מביוס אי אפשר "לשכן" במרחב דו-ממדי כמו שאפשר לעשות לכדור. מפת העולם הדו-ממדית שנמצאת במיטב האטלסים היא דוגמה מצוינת לשיכון של יריעה דו-ממדית במרחב תלת-ממדי, למישור דו-ממדי.
משמאל: מפת העולם, דוגמה לשיכון של יריעה דו-ממדית במישור; מימין: טבעת מביוס | התמונה מימין לקוחה מוויקיפדיה, מאת David Benbennick
לטבעת מביוס חסרה תכונה חשובה הקשורה קשר הדוק לכיראליות, והיא תכונת ה"אוריינטציה". מדובר במושג מתמטי מסובך למדי, אבל אפשר לומר שכיוון שלטבעת מביוס אין פנים ואין חוץ (בניגוד למפה, שלה יש צד קדמי ואחורי), אי אפשר לשים אותה במרחב דו-ממדי, או להעתיק טבעת ימנית לטבעת שמאלית במרחב (כמו שאפשר לעשות למשולשים שלעיל).
זה גם לא הכל - בנוסף קיימות צורות תלת-ממדיות שאינן סימטריות (כלומר אין להן אף סימטרית שיקוף), אך גם אינן כיראליות:
את הצורה שמימין אפשר לסובב עד שנגיע בחזרה לצורה שמשמאל, שהיא תמונת המראה שלה. כלומר חוסר סימטריה אינו ערובה לכיראליות, לפחות בשלושה ממדים, וגנראה גם בממדים גבוהים יותר.
ולכן התשובה בקצרה היא כן ולא. בעיקרון, צורות שהן א-סימטריות (ולכן לרוב כיראליות) במרחב ה--nממדי שבו הן שוכנות, אינן כיראליות בממדים גבוהים יותר. אך לעיתים יש צורות שהן א-סימטריות אך גם לא כיראליות, ולפעמים יש צורות שהן כיראליות גם בממדים גבוהים יותר מזה שבו הן שוכנות – למשל כמו טבעת מביוס.
תכונת הכיראליות הושאלה גם לכימיה, לפיסיקה ולתחומים נוספים, שם היא נחקרת בהתמדה – בכימיה יש הבדלים רבים בין "מולקולות ימניות" ל"מולקולות שמאליות" של אותו החומר – רק בגלל סידור שונה של האטומים בחומר. הסוכרזית, למשל, היא מולקולה ימנית, ואילו למולקולה השמאלית שלה יש טעם מר. מולקולת הריח של התפוז היא השיקוף של מולקולת הריח של הלימון וכן הלאה.
בפיסיקה משתמשים במושג כיראליות כדי לתאר חלקיקים יסודיים בעלי תכונות "ימניות" ו"שמאליות", כל שבאופן כללי ייתכנו שני עולמות שונים בעלי כיוון מנוגד, אך זה כבר נושא לכתבה ארוכה ומפורטת יותר.
והפעם, שיר רלוונטי במיוחד:
כרמל שור
המחלקה לכימיה פיסיקלית
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
