שחר שלום,

בניסוחה הפשוט השערת פואנקרה טוענת: "כל יריעה תלת-ממדית שהיא 'סגורה' (כלומר פשוטת-קשר וללא שפה), הומאומורפית לספירה התלת-ממדית".

זה אכן ניסוח מסובך מעט, שכדי להבין אותו צריך להסביר כמה מושגים:

1. יריעה – בשני ממדים קל יותר להבין את הכוונה. כשמדברים על יריעה בשני ממדים מתכוונים למרחב דו-ממדי שבכל סביבה קטנה מספיק אפשר להתייחס אליו בקירוב טוב כמישור. למשל שפה של ספֵירה (קליפה כדורית) היא יריעה, כיוון שעבור מי שעומד על פני הכדור מרחקים קטנים על שטחו נראים ישרים (דו-ממדיים) ולא כדוריים (תלת-ממדיים). דוגמה אינטואטיבית ומוכרת לזה היא כדור הארץ, שבעבר אפילו נטען שהוא שטוח.

בשלושה ממדים קצת יותר מסובך לתפוס את זה, כיוון שיריעה תלת-ממדית "נמצאת" בדרך כלל במרחב מממדים גבוהים יותר, שקשה לנו לתפוס באופן אינטואיטיבי. אבל הכוונה זהה גם כאן, מדובר במרחב תלת-ממדי, שבמרחקים קטנים אפשר לקרב אותו בעזרת "מישור תלת-ממדי", כלומר מרחב תלת-ממדי "רגיל".

2. סגורה – הכוונה כאן היא למרחב סופי (שאיננו אינסופי), אך אין לו קצה. אם ניעזר שוב בדוגמה משני ממדים, הקליפה החיצונית של כדור היא סגורה, כיוון שהשטח שלה סופי וגם אין לה קצה. דיסק, לעומת זאת, הוא אמנם יריעה דו-ממדית, אך היא איננה סגורה כיוון שיש לו "קצה", כלומר שבנקודות מסוימות אי אפשר להמשיך לנוע בו לכל הכיוונים. את הכדור אפשר להקיף בלי סוף ובכל נקודה אפשר להמשיך ולנוע לכל ארבעת הכיוונים. בדיסק, לעומת זאת, כשמגיעים לשפה שלו אפשר להתקדם ממנה רק פנימה למרכז, ולא החוצה.

בתלת-ממד, שוב, קצת יותר קשה לתפוס במה מדובר, אבל הכוונה זהה.

3. פשוטת קשר – בשפה פשוטה אפשר לומר שיריעה פשוטת קשר היא כזאת שאין בה "חורים", כלומר שכל לולאה (רב-ממדית) שנסמן על היריעה אפשר לכווץ לנקודה (אפס-ממדית). אם נחזור לדוגמה של הספירה הדו-ממדית, כל לולאה (מעגל) על היריעה אפשר להקטין עד לאפס, אם מקטינים את הרדיוס.


לולאה על גבי ספירה | אנימציה על בסיס תרשים של Salix Alba, ויקיפדיה

בייגל (או "טורוס" בשפה מתמטית) הוא דוגמה ידועה ליריעה שאינה פשוטת קשר, כיוון שאם נסמן לולאה שעוברת דרך החור שבמרכז למשל (מסומנת באדום בתרשים), לא נוכל לכווץ אותה לנקודה, בלי "לקרוע" את הלולאה.


טורוס (בייגל) | תרשים: Krishnavedala, ויקיפדיה

4.הומאומורפית – בשפה מתמטית, הומיאומורפיזם הוא פעולה שמעוותת גוף (או מרחב) אחד לצורתו של גוף (או מרחב) אחר בצורה רציפה. אם ניקח קוביית חמר או פלסטלינה נוכל "לכדרר" אותה לכדור או לעוות אותה לצורת פירמידה. לעומת זאת, ניקוב של חור בצורה אינו נחשב פעולה רציפה.


עיוות של ספל לבייגל בצורה רציפה | הנפשה: LucasVB, ויקיפדיה

בשני ממדים קל יחסית להבין את הכוונה, למשל איך למפות כל נקודה על קובייה לכדור. אך מסיבות שלא אוכל להסביר כאן הבעיה הרבה יותר מסובכת בממדים גבוהים יותר, וכך גם ספציפית עבור יריעות תלת-ממדיות במרחבים גבוהים. בפשטות, ניתן לומר שהומיאומורפיזם הוא סוג מסויים של יחס שקילות בין מרחבים.

5. ספֵירה תלת-ממדית – המילה "ספירה" מתארת את הקליפה החיצונית של כדור, ללא חלקו הפנימי. באופן אינטואטיבי נגיד שהיא מתארת יריעה דו-ממדית שהיא השפה של כדור תלת-ממדי. אם נכליל את ההגדרה המתמטית לממדים אחרים, נוכל להגדיר ספירה מכל ממד: הספירה החד-ממדית היא המעגל, כלומר היקף העיגול, והספירה הדו-ממדית היא קליפת הכדור.

כשם שהמעגל מתאר את כל הנקודות שמרחקן מהמרכז (בשני ממדים) שווה, הספירה היא אוסף כל הנקודות בשלושה ממדים שמרחקן מהמרכז שווה. אפשר לנסות לדמיין ספירה תלת-ממדית, כ"שפה" של כדור ארבעה-ממדי, וכאוסף של כל הנקודות שמרחקן  מהמרכז בארבעה ממדים שווה.

כדי לנסות לדמיין את זה, קח את הדוגמה הבאה: על הספירה הדו-ממדית אפשר להסתכל כעל שתי "קערות", שהן עיגולים דו-ממדיים קמורים, המחוברים זה לזה בשפתם (לדוגמה חצאי הכדור הצפוני והדרומי של כדור הארץ). באותו אופן אפשר לדמיין את הספירה התלת-ממדית כשני כדורים תלת-ממדיים מלאים, שמחוברים זה לזה בשפתם, כלומר שכל הקליפה החיצונית שלהם משותפת. במציאות איננו יכולים, כמובן, "לראות" את זה, כיוון שנחוץ ממד מרחבי רביעי כדי "להדביק" שני כדורים בצורה כזאת.

אפשר אם כך לומר שהשערת פואנקרה גורסת  שכל יריעה תלת-ממדית סופית וסגורה, שאינה מכילה "חורים", שקולה ל"ספֵירה התלת-ממדית" (ש"נמצאת" בתוך מרחב מממד גבוה יותר)

בשנת 2000, כמאה שנה אחרי שפואנקרה ניסח את הבעיה לראשונה, הכריז מכון קליי למתמטיקה על הבעיה כאחת מ"שבע בעיות המילניום",שפותרן יזכה בפרס כספי של מיליון דולר, אך כבר בשנת 2002 פרסם המתמטיקאי הרוסי גרגורי פרלמן מאמר שהוביל לפתרון הבעיה. בשנת 2010 הכריז המכון שפרלמן פתר את הבעיה והוכיח את השערת פואנקרה, אך פרלמן סרב לקבל את הפרס, הן במחאה נגד הקהילה המתמטית והן מתוך המחשבה שחוקר נוסף תרם רבות לפיתוח ההוכחה.

כרמל שור
המחלקה לכימיה פיסיקלית
מכון ויצמן למדע


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.