לא נתייחס כרגע למה היא השערת הרצף, אלא רק לשאלה מה הכוונה שלא ניתן להוכיח או להפריך טענה כלשהיא.


גאורג פרדיננד לודוויג פיליפ קנטור (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor) אבי תורת הקבוצות. התמונה לקוחה מויקיפדיה.

בתור התחלה, כאשר מוכיחים תמיד מתחילים מאקסיומות מסויימות. כאשר אומרים שלא ניתן להוכיח או להפריך טענה מסוימת מתכוונים שלא ניתן להוכיח או להפריך אותן מאוסף מסוים של אקסיומות. עכשיו נניח שנתון לנו אוסף מסוים של אקסיומות, מה הכוונה שמשהו נכון בהינתן האקסיומות? הכוונה היא שבכל מודל שמקיים את האקסיומות מתקיימת הטענה. מכיוון שכל מה שניתן להוכיח הוא נכון (זהו משפט הנאותות) כל טענה שניתן להוכיח חייבת להתקיים בכל מודל המקיים את האקסיומות. בצורה זהה, כל טענה שניתן להפריך חייבת לא להתקיים בכל  מודל המקיים את האקסיומות. הטענות שלא ניתן להוכיח ולא ניתן להפריך הם בדיוק הטענות שיכולות להתקיים עם האקסיומות, ויכולות לא להתקיים עם האקסיומות ולכן אוסף האקסיומות שבחרנו לא אומר לנו כלום על הנכונות או אי נכונות של הטענה.

ניתן כמה דוגמאות להבהרה. נתחיל בדוגמא אלגברית  - שדות. מגדירים שדה כאוסף של איברים שניתן לחבר והכפיל כך שהם מקיימים אוסף של אקסיומות שנשמע יחסית אינטואיטיבי. המספרים הממשיים, המספרים הרציונליים והמספרים המרוכבים הנלמדים בתיכון הם דוגמאות לשדות. דוגמא לטענה שניתן להוכיח מאקסיומת השדה היא השוויון a+b)(a-b)=a^2-b^2) שמכיוון שניתן להוכיח אותו מאקסיומות השדה, נכון לא רק לדוגמאות שציינו אלא לכל שדה באשר הוא. דוגמא לטענה שאפשר להפריך היא למשל 0∙1≠0 שאיננה נכונה בכל שדה באשר הוא. טענה שלא ניתן להוכיח ולא ניתן להפריך היא למשל הטענה ש " אין פיתרון למשוואה x^2+1=0". ידוע שהריבוע של כל מספר ממשי הוא חיובי ולכן בממשיים אין פיתרון למשוואה, אבל במרוכבים קיים פיתרון.
 
 
איתן פתיה

דוקטורנט, המחלקה למדעי המחשב ומתמטיקה שימושית
מכון ויצמן למדע



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

3 תגובות

  • ליאור

    המשך ההסבר

    שלום איתן,

    ביחס למה שתיארת, אני מבין שהשערת הרצף צריכה להיות בלתי ניתנת להוכחה/הפרכה במסגרת אוסף אקסיומות מסוים. אם כן, מהו אותו אוסף אקסיומות? כל עולם המתימטיקה? מודל מתימטי מסוים? באיזה קונטקסט אקסיומטי (אם אפשר לכנות את זה ככה) ניתן להתייחס להשערת הרצף?

    תודה,
    ליאור

  • איתן פתיה

    לאריק

    התורה המתמטית שחוקרת את הנושאים הללו היא תורת הקבוצות האקסיומטית. אוסף האקסיומות המדובר הם האקסיומות של צרמלו-פרנקל.

  • אריק

    אחרת לגמרי מאיך שהבנתי את זה

    תמיד הבנתי שהכוונה זה שאי אפשר לדעת ולא שבמבנים מסוימים זה יעבוד ובאחרים לא.