איך חוזים את מספר הנדבקים הצפוי בעזרת מתמטיקה פשוטה? ומה אפשר ללמוד מהמספרים על המשך המגפה?

"זינוק במספר הנדבקים"  זועקים כלי התקשורת באופן כמעט יומיומי. ואכן מספר הנדבקים המדווחים בנגיף קורונה עולה כל יום ומגיע למספרים גבוהים, כשרק לפני שלושה שבועות היו מקרים בודדים.

כך, לפי ויקיפדיה, מדווחים מקרי הקורונה בישראל ב-25 הימים הראשונים למגפה:

מספר החולים המאומתים בישראל מאז החלה התפרצות הקורונה | מקור: ויקיפדיה
מספר החולים המאומתים בישראל מאז החלה התפרצות הקורונה | מקור: ויקיפדיה

בסוף השבוע הראשון להתפרצות היו רק שלושה נדבקים, וברוב ימי השבוע ההוא לא היו הדבקות חדשות. לעומת זאת, בשבוע האחרון בטווח שבטבלה מספר הנדבקים מזנק מ-109 ל-427 – כמעט פי ארבעה!

מתברר שהמתמטיקה יכולה להסביר את התופעה, ואף לנבא את המשך המגמה של התפשטות מגפות. זאת הודות למשוואה מתמטית שפיתח בתחילת המאה ה-19 המתמטיקאי והרופא בלגי פְּיֶר פְרַנְסוּאָה וֶרְהוּלְסְט  (Verhulst).

וֶרְהוּלְסְט, כמו אחרים, התעניין במודלים מתמטיים לתיאור התפתחות של אוכלוסיות וגילה שבין אם מדובר בבני אדם, ארנבים או נגיפים, יש משוואה שמתארת די מדויק כיצד האוכלוסייה תגדל – ובהמשך תדעך. למשוואה קראו משוואה לוגיסטית והיא מתארת את השינוי בזמן של גודל אוכלוסייה, בהינתן תנאים מסוימים.

בהמשך פיתחו מתמטקאים משוואות רבות נוספות, המבוססות על המשוואה הלוגיסטית, לתיאור התנהגויות דינמיות של מערכות ביולוגיות, אחד התחומים שנמצאים במוקד המחקר הביולוגי המודרני.

וֶרְהוּלְסְט | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל
משוואה שמתארת את השינויים בגודל האוכלוסיה. וֶרְהוּלְסְט | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

פונקציה מעריכית

המשוואה הלוגיסטית היא משוואה דיפרנציאלית רגילה המתארת שינוי תיאורטי באוכלוסיה עם הזמן, בהקשר של וירוס הקורונה למשל, השינוי היומי במספר הנדבקים. 

אם רוצים ללמוד על התפשטות הקורונה אפשר, בהנחות מסוימות, להסתמך על משוואה פשוטה יחסית:

מספר ההידבקויות היום = מספר החולים אתמול כפול מספר האנשים הממוצע שנחשפים לאדם חולה כפול הסיכוי של כל חשיפה להפוך להידבקות.

קשה להעריך מראש כמה אנשים בממוצע נחשפים לכל חולה, ומה הסיכוי של חשיפה להפוך להידבקות, אך מנתוני האמת אנחנו יכולים לחלץ את המכפלה של שני הנתונים. לפחות בטווח התאריכים המדובר המספר הזה נשאר די קבוע ושווה ל-1.25.

בגרף אפשר לראות השוואה בין מספר הנבדקים האמיתי (עיגולים כחולים) מול המודל המתמטי (עיגולים ירוקים). רואים שהערכים קרובים יחסית, וגם הערכים האמיתיים נמצאים על הקו המתאר פונקציה מעריכית.

התאמה כמעט מושלמת. מספר הנדבקים האמיתי והחזוי | איור: יוסי אלרן
התאמה כמעט מושלמת. מספר הנדבקים האמיתי והחזוי | איור: יוסי אלרן

היום האחרון בטווח שלקחנו הוא 18 במרץ, בו דווח על 427 חולים. רוצים לדעת בערך כמה יהיו למחרת? פשוט הכפילו ב-1.25. התוצאה היא בערך 534. 

כמה יהיו ב-20 במרץ?  

הכפילו 427 (מספר החולים ב-18.3) ב-1.25 כפול 1.25 - כלומר ב- 1.5625. התוצאה המתקבלת היא 667. כלומר אפשר לצפות לזינוק של כ-240 חולים תוך יומיים.

ברגע זה ודאי יש מי שירצו לחשב כמה יהיו חודש אחרי ה-18 במרץ - כלומר, לאחר 30 יום. הם ייבהלו לגלות מספר גדול מאוד: 427x1.2530 = כמעט 345,000 חולים!

חודש אחר-כך המספר מזנק ל-279 מיליון אנשים (בערך פי 30 מאוכלוסיית ישראל) מה קורה פה?

האמת היא ששגוי להתייחס כמספר קבוע למכפלה שהזכרנו קודם, מספר הנחשפים לחולה x הסיכוי של חשיפה להפוך להידבקות. הגורם הזה משתנה שתלוי בעצמו במספר הנדבקים היומי שבשלב מסוים הולך ויורד, רק שעוד לא הגענו לשלב הזה ולכן הוא נדמה לנו כקבוע.  בשלב מסוים, הגורם הזה יקטן וצורת הגרף תשתנה. בטווח הזמן המכיל את כל שלבי התפשטות הוירוס, יש לגרף של המשוואה הלוגיסטית צורה טיפוסית של סיגמואיד, דמוי האות S. בשלב הראשון, המתואר בחצי השמאלי של הגרף יש עלייה אקספוננציאלית במספר הנדבקים.  כרגע ישראל נמצאת באזור הזה בגרף ולכן אנו רואים התנהגות מעריכית בגרף עם נתוני האמת. בשלב מסוים המגמה משתנה, והוא מסומן בנקודת פיתול. עוד לא הגענו לנקודה זו. לאחר נקודת הפיתול, בצד הימני של הגרף יש פחות ופחות הדבקות יומיות, הגרף מתמתן ואפשר לנשום לרווחה.

גרף סיגמואיד טיפוסי של המשוואה הלוגיסטית המתארת את השינויים בגודל אוכלוסייה עם הזמן | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל
גרף סיגמואיד טיפוסי של המשוואה הלוגיסטית המתארת את השינויים בגודל אוכלוסייה עם הזמן | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

שתי סיבות עיקריות אחראיות להתמתנות הגרף:

‏א. הסיכוי של חשיפה להפוך להידבקות הולך וקטן ככל שיש יותר חולים, שכן אנשים חולים לא נדבקים, וכנראה גם אנשים שהחלימו מוגנים מהמחלה.

‏ב. מספר האנשים שנחשפים לאדם חולה פוחת והולך ככל שמשטר הבידוד החברתי יעיל יותר.

כמובן שגם הנגיף עצמו יכול להיחלש, למשל עם שינויי מזג אוויר.

המתמטיקה ממחישה, אם כך שבידינו לסייע להשטחת העקומה ולחצות מהר ככל האפשר לאזור הפיתול. זאת באמצעות שמירה על כללי הבידוד וההיגיינה, על פי הנחיות משרד הבריאות.

2 תגובות

  • דן ביזר

    גרפים של הפרמטרים של מגפת הקורונה בישראל

    ד"ר אלרן היקר,
    תודה על ההסבר.
    באתר https://www.worldometers.info/coronavirus/ ניתן לראות גרפים של פרמטרים שונים עבור ארצות מסויימות. ישראל מופיעה רק בדיווח יומי. האם יש לך את היכולת ליצר גרפים כאלה (נדרשת אינפורמציה היסטורית) עבור ישראל?

  • טוביה

    שאלה

    https://www.marketwatch.com/story/is-coronavirus-airborne-will-it-live-i...
    האם זה נכון