לכאורה זה פשוט מאוד: אחוז הוא חלק מהשלם. הבעיה הגדולה היא שלא תמיד אנחנו יודעים לאיזה שלם אנחנו מתייחסים

בנפתולי תוכנית הלימודים של בית הספר היסודי מסתתרים כמה מוקשים מתמטיים. חלקנו צולחים אותם ללא קושי בזכות נטייה טבעית למספרים, אבל עבור רבים מאיתנו הם מייצגים מחסום משמעותי. במקום  לדהור קדימה על הכביש המהיר של החשיבה הכמותית, אנחנו נתקלים בדרכנו בחומה גבוהה קשה למעבר. אחת הדוגמאות הידועות לכך הם האחוזים.


מי מאיתנו מעולם לא התבלבל בחישובי אחוזים? 110 אחוז שזה קרה לכולכם. סימן אחוז נסדק ומתפורר | Shutterstock AI

מה קשה כל כך באחוזים?

לכאורה אחוז הוא עניין פשוט – מספר שמייצג חלק מתוך דבר שלם. ופה הבעיה. כי את החלק תמיד אומרים בצורה ברורה, אבל מהשלם נוטים להתעלם. לעיתים קרובות אנחנו מרגישים באופן אינטואיטיבי שיש לנו חלק מתוך שלם גדול זה או אחר, ולפעמים איננו טורחים לעצור ולחשוב מהו השלם הזה בעצם. בדרך כלל זאת לא באמת בעיה, כי השלם אכן מובן מאליו. אבל לא תמיד. 

קושי נוסף נובע מכך שהאחוזים אומנם יושבים על אחת מארבע פעולות החשבון הבסיסיות, אבל זוהי הפעולה המסובכת ביותר מבין הארבע – החילוק. יש לה שני חלקים, מונה ומכנה, ושניהם עלולים להסתבך. המכנה גם פועל הפוך – ככל שהוא גדֵל תוצאת החילוק קטנה. בנוסף, ההשתנות אינה לינארית, כלומר לפעמים שינוי קטן במכנה יוצר שינוי עצום בתוצאה הסופית ולפעמים לא. כל דבר כזה יוצר סיבוכים נוספים. 

בעיה שלישית היא שהאחוז מגיע כמעט תמיד כדי להשוות דברים. חלק ושלם, כאמור. אבל זה לא הכול. עוד צרה היא שלפעמים גם האחוז עצמו מושווה למשהו אחר. כלומר ההשוואה בין שני דברים מושווית בעצמה למשהו שלישי. וכדי לזרות עוד מלח על הפצעים, לפעמים המשהו הזה עצמו הוא אחוז.

ולבסוף, האחוז יוצר לעיתים קרובות בלבול בין כפל לחיבור או חיסור. הדוגמה הפשוטה ביותר היא הקטנה של משהו בעשרה אחוזים. דרך אחת לפתור את זה היא לחשב עשרה אחוזים מהשלם ואז באמת להחסיר אותם מהשלם בתרגיל חיסור. עם זאת, לרוב יהיה קל יותר ומועיל יותר לצורך החישובים הבאים להתייחס לזה כאילו לקחנו 90 אחוז מהשלם. במקרה כזה יהיה עלינו לפתור תרגיל שהוא סוג של כפל בבסיסו. כשתרגילי חיבור וחיסור משתלבים יחד בדרכים שונות ומשונות, אנחנו בדרך כלל בסדר עם זה, וגם רצפים של כפל וחילוק לא מקשים עלינו במיוחד. אבל ערבוב של שני העולמות מייצר לנו קושי מסוג חדש.

ולכן קשה לנו עם אחוזים. וכשקשה לנו אנחנו נוטים לחטוא באי-דיוקים.


הרעיון שהאחוזים מייצגים מעורר קשיים ובלבול אצל רבים וטובים. סימן האחוז מתדרדר במדרגות | Pla2na, Shutterstock

חטא התוספת הכפולה:
"יש להגדיל את ההנחות ביום ההשקה ב-25 אחוז מעבר לתכנון המקורי"

הבעיה כאן היא שאנחנו לא יודעים אם להכפיל או לחבר. אז נניח שההנחה המתוכננת הייתה של 40 אחוז. האם הכוונה היא להוסיף אחוזים לאחוזים, כלומר להגיע להנחה של 65 אחוז? או אולי אנחנו אמורים לקחת את ההנחה הקיימת ולהגדיל אותה ברבע מגובהה המקורי? כלומר היות ש-25 אחוז מ-40 אחוז הם 10 אחוזים, נוסיף אותם להנחה המקורית ונקבל הנחה כוללת של 50 אחוז בלבד. אם הנהלת החנות שלחה לאנשי המכירות שלה הודעה בניסוח הזה, אף אחד לא ידע לעולם למה היא התכוונה. 

חטא ריבוי ההשוואות:
"הפשיעה בישראל עלתה ב-40 אחוז לעומת ארצות הברית"

מדאיג! אבל לפני שאנחנו מוטרדים, מה זה אומר בכלל? כבר הזכרנו שאחוז הוא תמיד חלק מתוך שלם כלשהו. הבעיה בניסוח הזה היא שיש יותר מדי שלמים אפשריים. האם העלייה היא ביחס למה שהיה בעבר? במקרה הזה הפשיעה בישראל זינקה בתוך שנה ב-40 אחוז ואילו ובארצות הברית הגידול היה נמוך יותר. או ששיעור הפשיעה הנוכחי בישראל מושווה כאן לשיעור הפשיעה העכשווי בארצות הברית? ואולי התכוונו להשוות את מידת העלייה פה ושם? יש יותר מדי אפשרויות. וכשלא ברור מהו השלם, כל מה שנאמר על אחוזים לא יוכל להיות ברור.


להכפיל או לחבר? חטא כפול ומכופל. הנחה של 20 אחוז על הנחה של 50 אחוז | Andaris Bangsawan, Shutterstock

חטא האחוז כציון:
"כמה אנחנו טובים היום? הייתי אומר שאנחנו משחקים ברמה של 70 אחוז"

כאן בכלל לא ברור על מה אנחנו מדברים ומתוך מה. הבעיה הפעם היא לא ריבוי האפשרויות, אלא דווקא המחסור בהן. האם אנחנו מדברים על היכולת הנוכחית של הקבוצה מתוך היכולת הפוטנציאלית שלה בהרכב הנוכחי? האם ההשוואה היא לקבוצה הכי טובה כיום? לקבוצה הכי טובה אי פעם? רוצים לתת ציון? תנו ציון. תגידו 7 מתוך 10. או שהציון הוא 70. הוספת האחוזים אולי נועדה לשוות לאמירה נופך מלומד יותר, אבל בפועל היא משיגה את האפקט ההפוך. 

חטא התחזית:
"90 אחוז סיכוי שהמועמד שלנו מנצח"

החטא כאן גדול מאוד, כי מכיוון שמדובר בתחזית היא מתייחסת לעתיד. אנחנו מכירים קביעות לגיטימיות לחלוטין על העתיד שמשתמשות באחוזים, למשל "יש 50 אחוז סיכוי להוציא מספר זוגי בקובייה". חטא התחזית מתחפש להן. אבל העניין הוא שאנחנו יכולים לדבר באחוזים על תוצאות גלגול הקובייה כי אנחנו יודעים בדיוק מהן התוצאות האפשריות ומה היחס ביניהן. 50 אחוז ממה? מהעתידים האפשריים. אז לגבי המועמד אנחנו אומרים שב-90 אחוז מהעתידים האפשריים המועמד שלנו מנצח. אם זה באמת מה שהתכוונתם להגיד, זכותכם. אני, מצידי, מתקשה להבין מה זה אומר, ועל מה ההערכה הזאת מבוססת. 


מספר שמייצג חלק מתוך דבר שלם. ופה הבעיה. תרשים עוגה מחולק לגזרות באחוזים | pgraphis, Shutterstock

חטא ההיפוך:
"הבדיקה יצאה חיובית, אז יש סיכוי של 96 אחוז שאני באמת חולה"

החטא הזה חמור במיוחד, כי כאן לאחוז הזה יש מובן – מובן ברור מאוד – אבל שונה ממה שהתכוונו לומר. משפטים כאלה מתייחסים בדרך כלל לרמת הדיוק של בדיקות רפואיות. וזה נשמע הגיוני. אם כתוב שלבדיקה יש דיוק של 96 אחוז, זה בוודאי אומר שהאחוז הזה הוא הסיכוי שאני חולה. אך מתברר שלא. השאלה החשובה היא מה אנחנו יודעים ומה לא, ושוב שאלת המפתח היא "מתוך מה". מהו השלם?

הנתון על רמת הדיוק של הבדיקה אומר שב-96 אחוז מהמקרים היא תיתן תשובה נכונה. כלומר אם ידוע שאני חולה באמת, לבדיקה יש סיכוי של 96 אחוז לגלות את המחלה. המשפט בכותרת נשמע דומה, אבל למעשה הוא הופך את הצדדים. כי כשאנחנו עושים את הבדיקה אנחנו לא יודעים אם אנחנו חולים או בריאים. אנחנו יודעים רק מה מצאה הבדיקה. בין "מה הסיכוי שאני חולה באמת אם קיבלתי תוצאה חיובית בבדיקה?" לבין "מה הסיכוי שאקבל תוצאה חיובית בבדיקה אם אני באמת חולה?" יש קשר, אבל אלו לא אותם סיכויים. ולפעמים הם יכולים להיות שונים מאוד. 

נדמה שהאחוזים גורמים לכולנו לחטוא בחטאים מתמטיים, אך אל דאגה. עם קצת תרגול ומחשבה נוכל להתחמק מהם בקלות ולנווט בביטחון בין השלמים והחלקים. אז בפעם הבאה שאתם נתקלים באחוזים, היזכרו במה שלמדתם וחפשו את השלם. 

11 תגובות

  • טאי

    טיפש

    אם מישהו יוכל להסביר לי מה לא נכון בחטא ההיפוך במקרה הזה אני אשמח.
    אם לבדיקה יש 96 אחוז לתת תוצאה נכונה,ואני חולה אז:
    יש 96 אחוז שהבדיקה תמצא שאני חולה
    ואם הבדיקה אכן חיובית אז יש 96 אחוז שאני באמת חולה(שהבדיקה נכונה), כי ב96 אחוז מהמקרים התשובה נכונה, ובארבע אחוז התשובה שגויה.

  • מיכאל גורודין

    מיכאל גורודין

    בוא נניח כמו שאמרת שלבדיקה יש דיוק של 96 אחוזים. לצורך הפשטות בוא נניח שזה נכון גם לאנשים חולים וגם ללא חולים. עכשיו בוא נניח שיש מיליון אנשים בריאים ומאה אנשים חולים. עשינו בדיקה לאחד מהם, והוא יצא חיובי בבדיקה. כמה אנשים כאלה יהיו אם נבדוק את כולם? מתוך מאה החולים, 96 יקבלו תוצאה חיובית (96%). מתוך מיליון הבריאים 40,000 יקבלו תוצאה חיובית (4%). מכיוון שאנחנו לא יודעים מי זה האדם האקראי שיש לו בדיקה חיובית, הסיכוי שלו להיות באמת חולה הוא 96 מתוך 40096. שזה פחות מאחוז בודד. אם המחלה הייתה הרבה יותר נפוצה, נניח מאה אלף חולים ומיליון בריאים, נקבל שמתוך החולים 96,000 יקבלו בדיקה חיובית, וכמו קודם מתוך הבריאים 40,000 יקבלו תוצאה חיובית, ועכשיו אם אדם אקראי קיבל בדיקה חיובית הסיכוי שלו להיות חולה הוא כ 70%. הבעיה במה שכתבת היא המילה ״מקרים״. אם הבדיקה חיובית, המקרים שמסתכלים עליהם הם לא אותם מקרים שעבורים נקבע אחוז הדיוק של הבדיקה.

  • יוני

    וגם - התייקרות

    שפתאום החלק מהשלם נעשה יותר גדול מהשלם

  • שניצל

    שכחתם את הבעיה הכי נפוצה. אחוזים מלמעלה ומלמטה

    נניח חנות שרוצה להרוויח 25% על המוצרים, אבל לתמחר אותם ב35% רווח כך שתוכל לתת הנחה של 10%. אם התמחור יהיה כפול 1.35 ממחיר הקניה, אז 10% הנחה מהמחיר הסופי יתנו רווח נמוך יותר מ25%, כי הסכום גדל וכך גם האחוזים ממנו.

  • ניסקו

    על אחוזים והסתברות

    תודה על הטקסט הנחמד והכתוב היטב. עם זאת, לדעתי הכותב מערבב קצת בין אחוזים כיחס כמותי לבין אחוזים כביטוי הסתברותי. על אף ששני הרעיונות חופפים לגמרי וניתנים להחלפה זה בזה (זה שיש 50% נשים בחדר מסוים אומר שהסיכוי לבחור מקרית אישה עומד על 50%), הבלבול הגדול באחוזים הוא בפן ההסתברותי ולא בהכרח הכמותי. בתיאור כמותי, אם הוא נעשה בצורה ברורה, קל להגיע לחישוב האחוזים. בהסתברות, עם זאת, אנחנו חייבים תמיד לחשוב על שיעור הבסיס, או כדברי הכותב, לדעת מהו אותו השלם שעליו אנו מדברים. זה דורש "אוזן" רגישה יותר, וכאן יש להזכיר את העבודה המכוננת של טברסקי וכהנמן, שבקצרה מראה שאנחנו לא באמת מבינים הסתברות (לעומתם, גיגראנזר הראה שכשמנסחים את אותן בעיות במונחים כמותיים של שכיחויות, בני אדם מבינים יותר).

  • משה

    תודה על מאמר מלמד

  • צב מעבדה

    צב מעבדה

    proportional reasoning הוא אכן ביג דיל. אחד הדברים היותר מורכבים בהוראת מתמטיקה.

  • עדי

    מה הבעיה ב"חטא התחזית"?

    לא הבנתי מה הבעיה המתמטית בתחזית של 90% סיכוי לניצחון. כלומר, אפשר לפקפק ביכולות הניתוח והניבוי של נותני תחזיות כאלה, אבל זה לא קשור לדיון על אחוזים. המשפט מאוד ברור ותקין מבחינה מתמטית

  • מיכאל גורודין

    הבעיה היא אכן לא מתמטית

    אלא בפער שבין המשמעות המתמטית למשמעות המקובלת (ואף לשכל הישר). המשמעות המקובלת היא לא המשמעות המתמטית, כי אף אחד לא מתכוון לכך שבתשע עשיריות מהעתידים האפשריים המועמד ינצח בבחירות, אף אחד לא מדבר על עתידים אפשריים שווי הסתברות - ומשמעות זו, בעוד שאין איתה בעיה מתמטית, לא ממש מתקבלת על דעתם של רוב בני האדם.

  • עדי

    למה לא? אלא למה אתה חושב

    למה לא? אלא למה אתה חושב שמתכוונים כשאומרים את זה?

  • מיכאל גורודין

    מיכאל גורודין

    אני חושב שכשבני אדם אומרים את זה הם מתכוונים ל״הרבה״, ובכלל לא חושבים על עתידים אפשריים שווי הסתברות.