הסוד העתיק לניצחון
בטרנד החדש

משחקי שכונה ממכרים ליוו את הילדות של כל אחד ואחת מאיתנו – במשך עשרות שנים נהנו ילדים לבלות את ההפסקה הגדולה בבית הספר בצליפה בגולות וגוגואים, בהפיכת פוגים ופליקים, ובתחילת שנות האלפיים במחיאות כפיים בעוצמה כדי להפוך את קלפי הסופרבול של היריב. לא פעם חזרנו לשיעור כשכפות ידינו עוד דואבות מלהט המשחק שהסתיים זה עתה. בחודשים האחרונים מסתמן הלהיט הבא של הקיץ, והפעם מדובר במשחק לוגיקה ממכר במיוחד בשם "פופאיט". נסו את הגרסה המקוונת שלנו

אף על פי שהפופאיט הפך נפוץ בהפסקות בית הספר רק בשבועות האחרונים, מדובר במשחק שפיתחו כבר בשנות השבעים בני הזוג הישראלים תיאו ואורה קוסטר, בעלי העסק המשפחתי "תאוריה" לפיתוח משחקים, בשם  "עכברון אחרון" או "אחרון מפסיד". מלבד ההנאה שאפשר להפיק מאופיו התחרותי של המשחק, החוויה החברתית שמתקיימת לאורכו, והאתגר הלוגי שהוא מעניק, ניכר שיש גורם נוסף חשוב לא פחות שהופך את המשחק לאטרקטיבי וממכר במיוחד. מי ששיחק פופאיט אפילו פעם אחת יודע כי הלחיצה על בועיות הסיליקון גורמת סיפוק חושי ומנטלי ממכר, המזכיר במיוחד את התחושה שמתעוררת כשאנו מפוצצים את בועיות האוויר של אריזות ה"פצפצים" שתמיד משמח למצוא באריזות של מוצרים שבירים.

המטרה של המשחק, כפי שמרמז שמו המקורי "אחרון מפסיד", היא לא להיות האחרון שלוחץ על בועית. הלוח עצמו עשוי מסיליקון ובו טבועות שורות של בועיות אוויר לחיצות. בתחילת המשחק יש לוודא שכל בועיות האוויר פונות כלפי מעלה. כל שחקן בתורו בוחר שורה אחת, שבה הוא יכול ללחוץ על בועית אחת או יותר, כאשר מספר הלחיצות בתור מוגבל רק על ידי מספר הבועיות שנותרו בשורה הנבחרת. השחקן שנותר ללחוץ על הבועית האחרונה – מפסיד. לאחר הלחיצה על הבועית האחרונה אפשר להפוך את הלוח ולהתחיל משחק חדש.

לפני שנגלה את הסוד המתמטי שמאפשר לנצח בכל משחק פופאיט, ננסה להבין למה אנו מפיקים הנאה כה גדולה למשמע ה"פיק" ו"פק" שמפיקות בועיות הסיליקון הלחיצות.

למה זה כל כך מהנה לפוצץ אותן? אישה מחייכת כשהיא מפוצצת בועיות בעטיפת פצפצים | Shutterstock, Koldunova Anna

ההנאה שבפצפוץ

התשוקה שמתעוררת כשאנחנו פותחים אריזת משלוח ובה עטיפת פלסטיק מבועבע (פצפצים), וההנאה המופקת מפיצוץ הבועיות למשמע קולות "פק פק פק", היא ככל הנראה אוניברסלית. ראיה אחת לכך אפשר למצוא בכך שיש לא פחות מ-500,000 עוקבים לקבוצת הפייסבוק של popping bubble wrap (מפוצצים אריזות פצפצים). רבים מהם מעידים כי הפעולה ממלאת אותם בתחושת סיפוק ומשרה שלווה בנפשם. עם זאת, האם יש ראיות מדעיות שהפצפצים יעילים בהפגת לחצים?

בשנות התשעים פרסמו חוקרים מארצות הברית מאמר שבחן את ההשפעות החיוביות של פיצוץ פצפצים. שלושים משתתפים בניסוי התבקשו למלא שאלון שבדק את תחושת העייפות, האנרגטיות, הלחץ, ושלוות נפשם בתחילת המפגש. קבוצת הבקרה התבקשה לחזור על השאלון לאחר זמן המתנה ללא מעש, בעוד הקבוצה השנייה התבקשה להעביר את הזמן בפצפוץ הבועיות של אריזת פצפצים. מהשאלון שמילאו לאחר מכן, עלה כי משתתפי קבוצת הפצפצים דיווחו שהם שלווים יותר, עירניים יותר ואנרגטיים יותר מאשר לפני הפעילות, בעוד שלא נראה שינויי במדדים אצל אנשי קבוצת הביקורת. עם זאת, ייתכן שההשוואה הייתה רלוונטית יותר אם היו מתבקשים לעשות פעילות אחרת.

אמנם, לא כל המחקרים מזהים קשר ישיר בין פעולת הניפוץ לבין הפגת לחצים. מחקר שהתפרסם ב-2020 בחן את גלי הפעילות המוחית של הנבדקים באמצעות אלקטרודות אא"ג (EEG) שהוצמדו לראשם בעודם משתתפים באחת מארבע פעילויות הנתפשות כמרגיעות. החוקרים השוו את תדירות גלי המוח באזור קליפת המוח הקדם מצחית  לדפוסי פעילות חשמלית המזוהים עם לחץ או שלוות נפש. בניגוד לדעה הרווחת, החוקרים לא מצאו שינוי משמעותי בתדרים המזוהים עם תחושת רוגע כתוצאה מפיצוץ הפצפצים. לעומת זאת, מעניין לציין כי הם זיהו ירידה בתדרי המוח מסוג זה אצל משתתפי הניסוי שהתבקשו לחבק כרית למשך כמה דקות.

גם אם אין ראיה מובהקת שהפצפצים מקנים שלוות נפש, מפתחי מוצרים מסוימים זיהו זה מכבר את ההנאה שלקוחותיהם מפיקים ממוצרים המציעים משוב רב חושי לפעולת המשתמש. טלפונים חכמים מגיבים לפעולות במסך המגע באמצעות צלילים ורטטים המעצימים את חווית המשתמש. למרות שמחקרים רבים עוסקים בייעול הסנכרון הרב חושי וביישומיו במגוון רחב של מוצרים, טרם התגלה המקור לתשוקה האנושית להפיק צלילי פצפוץ באמצעות אצבעותיהם.

אחרי שעסקנו בהנאה הצפויה מעצם המגע בלוח המשחק, הגיע הזמן שנדון בהנאה גדולה לא פחות שאפשר להפיק מניצחון בפופאיט, בעזרת כמה כלים מתמטיים פשוטים.

להיות אפס כדי לנצח

המפתח לניצחון במשחק הפופאיט טמון במספרים בינאריים. אף על פי ששימוש בשיטה זו עלול להאט משמעותית את המשחק, אין דרך בטוחה מזו לנצח!

למעשה, הסוד הזה ידוע כבר יותר ממאה שנים. המשחק כמעט זהה למשחק עתיק בשם "נים", שבו במקום בפצפצים מסיליקון שיחקו בערימות של גפרורים או אבנים. מוצאו המדויק של המשחק אינו ידוע, אך גרסאותיו נפוצו בכל העולם. כל ערימה במשחק נים שקולה לשורת פצפצים בפופאיט. בכל תור על המתמודד או המתמודדת להסיר לפחות פריט אחד מאחת הערימות. בגירסה אחת של המשחק, שמזכירה את הפופאיט של ימינו, הצד המפסיד הוא זה שהסיר את הפריט האחרון. בשביל לנצח במשחקי נים ופופאיט, על המתמודדים להעמיד את עצמם דרך קבע ב"עמדת ניצחון". כדי להבין איך מחשבים מה היא עמדת ניצחון, חשוב ראשית להבין מה הם מספרים בינאריים.

הפופאיט אולי חדש, אבל המשחק מבוסס על משחק עתיק בשם נים, שבו שיחקו בערימות של גפרורים או אבנים. גפרורים מסודרים למשחק נים | ויקיפדיה, Uncopy

בעוד המספרים שאנחנו רגילים אליהם הם על בסיס עשרוני, כלומר מבוססים על עשר ספרות, מאפס עד תשע, מספרים בינאריים מתבססים על של שני סמלים בלבד: אפס ואחד. במספרים בינאריים נספור כך: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111… וכן הלאה. מספרים בינאריים שימושיים במערכות אלקטרוניות (0 ו-1 מסמלים שתי רמות מתח), במתמטיקה ובמדעי המחשב.

אסטרטגיית הניצחון במשחק נים, השימושית גם במשחק פופאיט, פותחת כל תור בתרגום מספר האובייקטים בכל ערימת גפרורים, או שורה בפופאיט, למספרים בינאריים. לאחר מכן, מחשבים "סכום נים": מסדרים את המספרים הבינאריים זה מעל זה, כמו בחיבור ארוך, ובכל עמודה בודקים אם 1 מופיע מספר זוגי או אי זוגי של פעמים. אם 1 מופיע מספר זוגי של פעמים – התוצאה בעמודה היא 0. אם 1 מופיע מספר אי-זוגי של פעמים – התוצאה באותה העמודה היא 1.

כדי לסיים את התור בעמדת ניצחון, יש להגיע למצב סכום נים של אפס בסוף התור. עמדת הפסד היא עמדה שבה סכום נים שונה מאפס. חשוב לציין שתמיד יש מהלך שימיר את הלוח מעמדת הפסד לעמדת ניצחון, אך אם מתחילים תור כשהמשחק כבר בעמדת ניצחון, אין דרך לשחק בלי להמיר את הלוח לעמדת הפסד. במילים אחרות, שחקן או שחקנית המעורים בסודות המספרים הבינאריים יכולים להעמיד את יריביהם בכל תור ותור בעמדת הפסד.

כאשר מתקרבים לסוף המשחק, יש להמתין לרגע שבו היריב או היריבה יביאו את הלוח למצב שבו רק שורה אחת מכילה יותר מפצפץ פנוי אחד, עמדה שמומחים במספרים בינאריים ימנעו ממנה, כי סכום נים שלה שונה מאפס. זהו רגע האמת. ברגע זה יש לצמצם לחלוטין את השורה המדוברת, או להשאיר בה פצפץ יחיד – מי מהשניים שיביא את הלוח למצב של מספר אי זוגי של שורות עם פצפץ יחיד. משם כל צד מפוצץ פצפץ יחיד והדרך סלולה לניצחון.

לסיכום האסטרטגיה בקצרה: כדי לנצח עלינו להביא את הלוח לעמדת ניצחון בסוף כל תור שלנו בכך שנאפס את סכום נים של השורות. אם נמשיך כך בהצלחה, היריב או היריבה בהכרח יביאו את הלוח לעמדת רגע האמת - רק שורה אחת עם יותר מפצפץ אחד. אז, מבצעים חישוב פשוט כדי להחליט האם למחוק את השורה המדוברת לגמרי או להשאיר בה פצפץ אחד, במטרה להביא את הלוח למספר אי-זוגי של שורות עם פצפץ בודד.

תור לדוגמה

שלוש שורות פוצפצו לגמרי, בשלוש שורות עוד נותרו פצפצים. איך נתקדם מכאן? | מעיין קרלינסקי ורוני סטוק

באיור לוח פופאיט שבו שלוש שורות שפוצפצו לגמרי, ושלוש שורות שבאחת מהן נותרו חמישה פצפצים, באחרת שלושה ובאחרונה רק שניים. (מצב א'). נחשב את סכום נים של הלוח כך:

1. נמיר את מספרי הפצפצים הנותרים למספרים בינאריים: 5 הופך ל-101, 3 ל-11, ו-2 ל-10.

2. נחשב את סכום נים של הלוח. אם 1 מופיע מספר זוגי של פעמים בעמודה - נרשום 0. אם 1 מופיע מספר אי-זוגי של פעמים בעמודה - נרשום 1 (באיור: סכום נים מצב א'). סכום נים במקרה הזה הוא 100 (או 4 במספרים עשרוניים).

3. עלינו להביא את הלוח למצב שסכום נים יתאפס (1 יופיע מספר זוגי של פעמים בכל עמודה). נצמצם את השורה שבה חמישה פצפצים לפצפץ יחיד (מצב ב'), ונחשב את סכום נים מחדש (סכום נים מצב ב').

4. סכום נים חזר להיות אפס. סיימנו את תורנו בהצלחה!

בהתבוננות מושכלת על לוח הפופאיט הנפוץ, הכולל שתי שורות של שלושה פצפצים, שתי שורות של חמישה פצפצים, ושתי שורות של שישה פצפצים, אפשר להגיע למסקנה חשובה: סכום נים של הלוח לפני תחילת המשחק הוא אפס. כלומר הלוח "מתחיל" בעמדת ניצחון, ואם שני הצדדים שולטים באסטרטגיה הבינארית, הצד שמשחק ראשון ימיר את הלוח שוב ושוב לעמדת הפסד, והפסדו יהיה בלתי נמנע. לכן עדיף לשחק עם מי שאינם שולטים בשיטה. פצפוצים נעימים!

נסו בעצמכם!