המתמטיקה המרהיבה
של הספירוגרף

ספירוגרף הוא צעצוע מתמטי שמצייר צורות יפהפיות המורכבות מעקומות דמויות ספירלה. מכאן נובעת משמעות השם באנגלית: "צייר ספירלות". יש סוגים רבים של ספירוגרפים, וכאן נדון בזה שמורכב מגלגל שיניים המסתובב בתוך טבעת. כשנועצים עיפרון באחד החורים שבגלגל ומסובבים את הגלגל בתוך הטבעת, נוצרת צורה גיאומטרית המכונה היפוטרוכואיד.

כשמסובבים שוב ושוב את העיפרון בגלגל השיניים של הספירוגרף, הוא תמיד יחזור בסופו של דבר לנקודת ההתחלה ויתחיל לצייר את הצורה מחדש. המתמטיקה מאפשרת לנו להבין לא רק מדוע הצורה נסגרת תמיד, אלא גם איזו צורה תתקבל בסופו של דבר. מה יהיה גודלה? האם היא תיראה כמו ריבוע מעוך, כמו עלי כותרת של פרח, כמו כוכב או כמו משהו אחר?

ערכת ספירוגרף המורכבת מטבעת וגלגלי שיניים | Ri6ka, Shutterstock

הסיבוב שתמיד נסגר 

הספירוגרף בנוי כך שבגלגל השיניים שמסתובב בתוך הטבעת יש פחות שיניים ממספר המגרעות שבצד הפנימי של הטבעת. נניח שיש בטבעת 20 מגרעות ושבגלגל יש 5 שיניים. נסמן את המגרעות בטבעת במספרים מ-1 עד 20, ואת השיניים בגלגל נסמן באותיות: א, ב, ג, ד, ה. ננעץ את העיפרון בחור כששן א' של הגלגל נמצאת בתוך מגרעת מספר 1 של הטבעת, ונתחיל לסובב. בהתחלה השיניים יתלכדו: 1א, 2ב, 3ג, 4ד, 5ה – ואז הגלגל ישלים סיבוב שלם סביב עצמו לאורך רבע מהטבעת. המשך התלכדות השיניים עם המגרעות יהיה: 6א, 7ב וכן הלאה. הצורה תיסגר אחרי שהגלגל יסיים להקיף את הטבעת פעם אחת, כי אז השיניים יחזרו לעמדה 1א.

נסמן להמחשה את המגרעות בטבעת במספרים ואת השיניים בגלגל באותיות | Nor Gal, Shutterstock

במקרה הזה הגלגל הסתובב ארבע פעמים בתוך הטבעת, והתקבלה צורה עם ארבע פניות – מעין פינות עגולות כמו צורה מספר 1 בתמונה למטה. אם מספר השיניים שבגלגל יהיה חצי ממספר המגרעות שבטבעת, הוא יסתובב פעמיים עד שיחזור לעמדתו ההתחלתית (1א) בתום הקפה אחת של הטבעת. הפעם לצורה שנסגרה יש שתי פניות, ומתקבלת אליפסה.

מה קורה אם מספר המגרעות בטבעת אינו מתחלק בדיוק במספר השיניים שבגלגל? מה קורה למשל אם בגלגל יש ארבע שיניים ובטבעת יש שש מגרעות?

נרשום את ההתלכדויות:

1א, 2ב, 3ג, 4ד, 5א, 6ב, 1ג, 2ד, 3א, 4ב, 5ג, 6ד, 1א

ההתלכדות ההתחלתית, 1א, תתקבל שוב רק לאחר שהגלגל יסתובב שלוש פעמים סביב עצמו יחסית לטבעת, ופעמיים בתוך הטבעת. גם כאן הצורה המתקבלת תיסגר. בצורה המתקבלת יהיו שלוש פניות, כמספר הסיבובים של הגלגל בתוך הטבעת, ראו צורה מספר 2.

בספירוגרף תמיד קיים מספר קבוע של סיבובים, שאחריו הגלגל הפנימי יחזור לעמדה ההתחלתית שלו ביחס לטבעת. הסיבה לכך היא שמספר השיניים בגלגל ומספר המגרעות בטבעת הם סופיים, ולכן בהכרח קיים מספר שמתחלק בשניהם, כלומר קיים רגע שבו גם מספר הסיבובים של הגלגל סביב עצמו וגם מספר הסיבובים שלו סביב הטבעת יהיו מספרים שלמים. המספר הזה נקרא "המכפלה המשותפת המינימלית". בדוגמה שהבאנו, המכפלה המשותפת המינימלית היא 12, מספר שמתחלק ב-6 – שני סיבובים סביב הטבעת – וב-4 – שלושה סיבובים של הגלגל.

מכאן נובעות שתי מסקנות. ראשית, תמיד תתקבל צורה סגורה. הצורה הסופית תתקבל כשהמגרעות שבתוך הטבעת יתלכדו עם השיניים של הגלגל בעמדה ההתחלתית שלהן. ושנית, מכאן נובע גם שמספר הפניות בצורה הסופית שווה למספר הסיבובים של הגלגל בתוך הטבעת עד שהוא חוזר לעמדה ההתחלתית שלו. המספר הזה שווה למכפלה המשותפת המינימלית של השיניים והמגרעות, לחלק למספר השיניים בגלגל, מכיוון שהפניות מתרחשות בסוף כל סיבוב שלם של הגלגל – כלומר בכל פעם שהוא חוזר לשן הראשונה שלו.

אם בטבעת יש הרבה יותר מגרעות מאשר שיניים בגלגל, כלומר הטבעת הרבה יותר גדולה מהגלגל, הצורה תופיע ברצועה קרובה לשפת הטבעת ויישאר אזור ריק במרכז, לדוגמה צורה מספר 3. האזור הריק הוא זה שהגלגל לא הגיע אליו.

אם מספר השיניים והמגרעות דומה, כלומר המעגל קטן רק במעט מהטבעת, ייתכן שהצורה תתפרס על פני כל השטח שבתוך הטבעת. למה רק "ייתכן"? ככל שהעיפרון קרוב יותר לקצה הגלגל, הצורה תתרכז יותר ברצועה קרובה לשפת הטבעת, וככל שהעיפרון קרוב יותר  למרכז הגלגל, היא תתרכז יותר במרכז, לדוגמה צורה מספר 4.

דוגמאות לצורות היפוטרוכואיד שנוצרו בספירוגרף המורכב מגלגל שיניים שמסתובב בתוך טבעת | איור: יוסי אלרן

המתמטיקה של האסתטיקה

מפתיע לגלות כמה הרבה צורות אפשר לקבל מאותו ספירוגרף, כי רק שלושה גורמים משפיעים על הצורה הסופית: הרדיוס של הגלגל, רדיוס הטבעת שבתוכה הוא מסתובב, והמרחק ממרכז המעגל של החור בגלגל שבו נועצים את העיפרון. השילוב של שלושת הגורמים האלה, שנקראים פרמטרים, הוא מה שקובע איך תיראה התוצאה הסופית.

המתמטיקה מאפשרת לנו לכתוב משוואות עבור היפוטרוכואידים כדי לתאר אותם במדויק ולחקור אותם לעומק. המשוואות הללו אינן מוגבלות רק לגלגלי שיניים כמו בספירוגרף, אלא מתארות מצב כללי: מסלול של נקודה קבועה במעגל המסתובב בתוך טבעת. כלומר הן מתארות את הצורה שיוצר עיפרון הנעוץ בגלגל כלשהו המסתובב בתוך טבעת כלשהי, גם אם אין להן שיניים או מגרעות.

עבור המעוניינים בהרחבה, נגיש כאן בקצרה את התיאור המתמטי הכללי. ראשית, נגדיר את שלושת הפרמטרים:

• רדיוס הטבעת – מסומן בתרשים באות R.

• רדיוס הגלגל – מסומן בתרשים באות r.

• המרחק ממרכז הגלגל של המקום שבו נועצים את העיפרון  – מסומן בתרשים באות a.

• זווית הסיבוב של העיפרון, או הגלגל – כלומר כמה מעלות נע העיפרון מתחילת התהליך. הזווית הזאת פרופורציונית לאורך הקשת שעליה מסתובב הגלגל. היא מסומנת בתרשים באות t.

אפשר להשתמש בפרמטרים האלה כדי לתאר איפה בדיוק נמצא חוד העיפרון בכל רגע ורגע וכך לדעת איך תיראה הצורה הסופית. המשוואות מתארות בכל רגע את המיקום של חוד העיפרון בציר האופקי (x) ובציר האנכי (y).

אם אתם רוצים לשחק עם הפרמטרים האלה ולצייר היפוטרוכואידים, היכנסו לאתר מצוין של ספירוגרף וירטואלי.

 משוואות עבור היפוטרוכואידים | איור: יוסי אלרן