אין עוד דרך חזרה:
שיווי משקל נאש

בוקר. אתם צריכים להיות בעבודה רק בעוד שעתיים. בעודכם בוהים בהשתקפותכם הישנונית מצחצחת שיניים, אתם חולמים על עולם טוב יותר, שבו בינה מלאכותית קובעת לכולם מתי לצאת מהבית כך שלא ייווצרו פקקי תנועה, ואתם זוכים לשעה נוספת לישון, לאכול, או לעשות מדיטציה עם סנדוויץ' תוך כדי שינה. אבל לא, אתם הרי יודעים שגם שאר האנושות המקיפה אתכם מנסה לחשב מתי הכי כדאי לצאת מהבית. גם אם תנסו לעשות משהו אחר, ייגזר עליכם פקק אימים. כמו כולם, גם אתם יוצאים מוקדם מאוד, פשוט כי לא משתלם לכם לעשות שום דבר אחר. 

כשאתם מחפשים את מי להאשים, הנה מועמד נוסף: המתמטיקאי וחתן פרס נובל בכלכלה ג'ון פורבס נאש (Nash). נאש אינו אחראי על שעות העבודה או על מצב הכבישים, אבל בשנת 1951 הוא הצליח לתאר את התרחיש המתואר, כמו מצבים רבים אחרים, באלגנטיות מתמטית מרגיזה ממש. ברוכים הבאים לעולם ללא מוצא הנקרא שיווי המשקל של נאש. אם להסביר את כל התורה של נאש על רגל אחת, שיווי המשקל שלו הוא מצב שבו אף לאחד מהצדדים המעורבים לא משתלם להיות היחיד שמשנה את דרך פעולתו. כולם ממשיכים לעשות את מה שעשו קודם, ולפעמים זה יפעל לרעתנו. 

"לא משתלם לי לעשות משהו אחר" הוא הלב של שיווי משקל נאש. אבל מכיוון שאנחנו עוסקים במתמטיקה, דימוי אחד או רעיון אחד, מוצלח ככל שיהיה – אינו מספיק. עלינו להגדיר בדיוק מהו ה"משחק" שאנחנו משחקים, מהם תנאי הניצחון ומה בדיוק יכול לעשות כל "שחקן" במשחק, כלומר מהן ה"אסטרטגיות" האפשריות שלו. ואם נדייק קצת יותר, שיווי משקל נאש הוא מצב עניינים שבו לשום שחקן לא משתלם לעשות משהו אחר אם הוא השחקן היחיד שמשנה את האסטרטגיה שלו. 

לא משתלם לשנות את שעת היציאה מהבית, כי כולם מנסים לחשב מתי אין פקקים. עומס תנועה בלוס אנג'לס | צילום: Vince360, Shutterstock

עמוק בשלב המשחקים

התחום המתמטי המטפל בנושאים אלו הוא "תורת המשחקים". המתמטיקה היא תחום דעת מופשט. תיאוריות מתמטיות רבות נחקרות עשרות או מאות שנים עד שמתגלה קשר בינן לבין "החיים האמיתיים". לא כך הדבר בנוגע לתורת המשחקים. מאז לידתו של התחום במחצית הראשונה של המאה ה-20, הוא היה קשור קשר הדוק לשאלות מחיי היומיום, ובמיוחד להיבטים כלכליים שונים. לא בכדי רבים מהזוכים בפרס נובל בכלכלה מגיעים משורות המתמטיקאים העוסקים בתורת המשחקים – כמו פרופ' ישראל אומן מהאוניברסיטה העברית, שזכה בפרס נובל בכלכלה בשנת 2005. 

כדי להבין טוב יותר כיצד נוצר שיווי משקל נאש, עלינו לאמץ כמה מהמונחים של תורת המשחקים. תחום דעת זה מנתח מצבים כאילו היו "משחק", שבו משתתפים שחקנים שונים על פי חוקים מוסכמים מראש ואשר כל צד מנסה "לנצח" בו על פי אמת מידה ידועה מראש. כמו תמיד, כשלומדים לעומק את המתמטיקה שמאחורי כל זה, מוצאים הגדרות מדויקות מאוד, אך אפשר לראות כי במקרה הזה אנחנו עוסקים בנושאים שהקשר בינם לבעיות היומיום שריר וקיים. 

אם כן, מה בדיוק הוכיח נאש? הוא לא הסתפק בהגדרה של אותו מצב יציב באופן מתמטי, אלא הראה כי מצב של שיווי משקל יציב כמו שתיארנו, קיים בוודאות ב"משחקים" המקיימים שלושה תנאים לא מסובכים מדי:

1. משחק לא שיתופי: משחקים שיתופיים הם משחקים שבהם המשתתפים יכולים לשוחח זה עם זה בטרם יחליטו על אופן הפעולה, לתאם עמדות, לאיים, להתמקח או להציע זה לזה איך כדאי לפעול ביחד. כדי שמשחק יעמוד בשלושת התנאים שתיארנו ויתאים ל"משפט נאש", הוא צריך להיות לא שיתופי. 

2. אין הפתעות. כל אחד מהשחקנים יודע מהן אפשרויות הפעולה של השחקנים האחרים, ויותר מזה, יודע מה יקרה בכל מצב שבו הוא בוחר במהלך מסוים ושחקן אחר בוחר מהלך אחר. במילים אחרות, ההתלבטות היא אסטרטגית בלבד, בלי שום אלמנטים של חוסר ודאות. 

3. הכל סופי. מספר השחקנים, מספר אפשרויות הפעולה שיש לכל שחקן ומשך המשחק – כולם סופיים. מספר האפשרויות שיש בפני כל שחקן יכול להיות גדול מאוד, אבל כל עוד מדובר במספר סופי, המשפט של נאש מתקיים. 

להסתכל על החיים כמו משחק בעל חוקים חוקים וכללים מוגדרים. ג'ון פורבס נאש | צילום: Peter Badge, ויקיפדיה

הגורם המכריע: יציבות

חשוב לא פחות לשים לב מה לא מאפיין מצב של שיווי משקל נאש: ראשית, הוא אינו חייב להיות המצב הטוב ביותר או הגרוע ביותר לשחקן כלשהו בנפרד או לכולם יחד. יש משחקים שבהם נקודת שיווי המשקל הזאת נוצרת במצב הטוב ביותר האפשרי לכל המעורבים, ויש משחקים, כמו דילמת האסיר המפורסמת, שבהם נקודת שיווי המשקל "תוקעת" את המשתתפים במקום מאוד לא טוב. יתרה מזו, יכול להיות שנקודת שיווי המשקל היא המצב הטוב ביותר האפשרי בעבור אחד המשתתפים, ומצב מאוד לא אופטימלי בעבור אחרים. השאלה היחידה היא אם כל אחד מהם בנפרד יכול לשפר את עמדתו בכוחות עצמו, בהנחה שכל השאר ממשיכים בשלהם. 

שנית, בכל משחק יכולות להיות כמה וכמה נקודות כאלה. כלומר, שיווי משקל נאש הוא נקודת שיווי משקל אחת, ולא "נקודת שיווי המשקל של המשחק". זהו מצב עניינים שאם כבר הגענו אליו, לא נוכל לשפר את עמדתנו בכוחות עצמנו. התכונה החשובה ביותר של מצב זה היא היציבות שלו, ועל כן הוא נקרא "שיווי משקל". מצבים אחרים במשחק, שאינם בשיווי משקל, לא יהיו יציבים: לפחות לאחד המשתתפים יהיה משתלם לעשות משהו אחר. ואז, בתגובה, יכול להיות שלשחקן שני ישתלם לשנות את האסטרטגיה שלו, וכן הלאה. דרך נוספת לחשוב על התובנה של נאש היא שבמשחקים העונים על שלושת התנאים, התהליך הזה לא יכול להימשך עד אין סוף. יגיע השלב שבו אף לאחד מהמשתתפים לא ישתלם לשנות אסטרטגיה, ואז ייווצר מצב יציב. נאש הבין שמידת היציבות של מצב במשחק חשובה לפעמים הרבה יותר מכל פרמטר אחר. 

רעיון זה התגלה כשימושי ביותר במגוון רחב של מצבים חברתיים וכלכליים. הוא עוזר להבין מדוע חנויות מאותו הסוג נוטות להתקבץ באותו מקום (ולא להתפזר על פני כל העיר באופן אחיד), משמש כהסבר אפשרי להתנהגויות בעולם החי ואף מוביל לתוצאות מפתיעות מאוד, כמו הוספת כביש חדש שמגדילה את הפקקים במקום להקל את העומס. הסייג, כמו תמיד במתמטיקה, הוא שכדי לעשות שימוש של ממש במושג הזה, אי-אפשר להסתפק בתיאור כללי שלו: צריך לעבוד קשה ולפתח את הנוסחאות וההגדרות המדויקות. אבל בינתיים, אם תמצאו את עצמכם תקועים עם כולם בפקק – זכרו להאשים גם את ג'ון נאש. זה לא ישפר את מצבכם בכביש, אבל אולי יגרום לכם להרגיש קצת יותר טוב.