פרש חוזר לביתו: פתרונות

בבלוג הקודם קיבלתם משימה, בבלוג זה אציג את הפתרון.
משימתכם הייתה להוציא את הפרש לטיול שיחזיר אותו למשבצת המוצא כשהוא מדלג בדילוגי פרש שחמטי.

הטיול היה חייב למלא בקפדנות את התנאים הבאים:
1) הוא חייב להיות הקצר ביותר האפשרי בתנאים הבאים.
2) אסור שיכלול מהלך ואת המהלך הנגדי לו.
3) המהלכים חייבים לכלול את כל ארבעת הכיוונים.
4) כשיש כמה אפשרויות, יש להעדיף מהלך שכיוונו קודם לשאר בסדר האל"ף-בי"ת.

כתבנו משוואה ווקטורית ובנינו את שתי המשוואות הרגילות הבאות

לגבי רכיב ה-xפ: 2a+b-c-2d=0
לגבי רכיב ה-yפ: a+2b+2c+d=0

אלו שתי משוואות בארבעה נעלמים, ועלינו היה למצוא פתרון של מספרים שלמים, כך שסכום הגדלים של a, b, c, d (למשל מינוס 3 ערכו פלוס 3) יהיה מזערי.

והנה הפתרון:

המהלך הראשון יכול להיות רק בכיווני א' או ב', כדי לא לחרוג מהלוח. לפי "כלל לא" מס' 4, הכיוון חייב להיות א', ולכן a חיובי וערכו לפחות 1. זיכרו: הצעדים בכיוון מסוים יכולים להיות או חיוביים או שליליים. אין לערב, כי אז לא נקבל את הפתרון הקצר ביותר ונבזבז מהלכים על תנועה הלוך-חזור.

עתה "נפתור" את שתי המשוואות כמקובל ונקבל:

3a=4c+5d
3b=5c+4d

מאחר ש-a חיובי, נוכל לשמר את ערכו המינימלי (1=a), וגם גדלי c,d יהיו קטנים אם נבחר ב-c=2 ,d=-1, ומכאן: b=-2. (עשו כמה ניסיונות ותיווכחו כי זוהי רביעייה שסכום גדליה מזערי).

אחרי הצעד הראשון בכיוון א', מיצינו את א' אך איננו יכולים ללכת בכיוון מינוס ב' כי אז נצא מהלוח. ניווכח כי עלינו ללכת שני צעדים בכיוון ג', ואז ללכת בכיוון מינוס ד' ולסיום שני צעדים בכיוון מינוס ב' – והנה פרשנו חזר הביתה!  

כך פתרנו את חידת שחמט בשישה מהלכים, ללא פיצוץ ועם עוגיות – אם אתם סומכים על הדוקטור שלא ירעיל אתכם...