תנועה הרמונית היא אחת הבעיות החשובות ביותר בפיסיקה, ואחת הבודדות מהן שניתנת לפתרון פשוט. כשמדובר בתנועה של מסה בודדת, לדוגמה מסה המחוברת לקפיץ, אנו יודעים איך לפתור את הבעיה בקלות רבה, מפני שלתנועה תהיה תדירות אופיינית אחת הנקבעת על ידי קבוע הקפיץ והמסה. אפשר לכנות זאת "אופן תנודה אחד של המערכת". מה שישתנה, בהתאם לתנאי ההתחלה, יהיה רק משרעת התנודה והמופע שלה.
אך מה קורה כשהמצב מסתבך? מה אם יש לנו שתי מסות המחוברות בקפיצים, או שלוש, או ארבע, וכן הלאה?
במקרה כזה התנועה נראית מורכבת מאוד ותנאי התחלה שונים מניבים תנועות שונות לחלוטין למערכת, שבמבט ראשון קשה להבין אותן. אולם גם הבעיה הזו נפתרת ברגע שמזהים שגם למערכת מסובכת כזאת יש מספר מוגבל של אופני תנודה שכל אחד מהם מתאפיין בתדירות משל עצמו. לדוגמה, עבור שתי מסות עם קפיצים יהיו שני אופני תנודה. אם נקרא להם F1 ו-F2, נוכל לתאר כל תנועה של המערכת כ-AF1+BF2, כאשר A ו B מכילות את המשרעת (אמפליטודה) ואת המופע של כל אופן.
נשמע מסובך? היישומון שלפניכם עושה סדר ומדגים איך הדבר הזה בא לידי ביטוי.
היישומון הופק במסגרת פרויקט PhET של אוניברסיטת קולורדו
להורדת היישומון ולהרצתו על המחשב לחצו כאן
אם אינכם מצליחים להעלות את היישומון, התקינו את תוכנת Javaweb. לחצו כאן והתקינו לפי ההוראות.
נתחיל בלשונית החד-ממד. היישומון יאפשר לכם להוסיף מסות נוספות ולראות את אופני התנודה של התנועה שלהם. יש פה הבחנה בין שני קיטובים של התנועה – אופקי ואנכי. בחרו באחד מהם ואז החליפו. תראו שהבחירה לא משנה משמעותית את העיקרון של אופני התנודה.
בחרו תחילה בסרגל הימני מסה אחת. תוכלו לראות שקיים עבורה רק אופן תנודה אחד בעל תדירות מסוימת. תוכלו להסיט את המסה עם העכבר לכל נקודה שתרצו ואז להקיש על "התחל" כדי לצפות בתנועה, או לסמן את המשרעת הרצויה בסרגל האמצעי ואז להתחיל אותה. בצד ימין למטה תוכלו לראות תיאור סכמטי של התנועה.
כעת ניקח את העניין ונעשה אותו מעניין יותר. הוסיפו עוד מסה ותראו שהפעם קיימים כבר שני אופני תנודה שונים. הבה נבחן כל אחד מהם לעומק ונראה מה המשמעות שלהם. לשם כך אל תגררו הפעם את המסות עם העכבר אלא השתמשו בסרגל האמצעי, העלו את המשרעת של האופן הראשון (השמאלי בסרגל) ולחצו על "התחל תנועה". מיד תבינו מהו אופן תנודה הזה, כששתי המסות נעות בו ביחד ולמעשה הכל נראה בדיוק כמו בתנועה של מסה הבודדת (הסתכלו בסרגל בצד ימין למטה). כעת חזרו על אותו ניסוי עם האופן השני והנה הפעם שתי המסות ינועו דווקא בכיוונים מנוגדים!
עכשיו הגיע הזמן לסבך את העניינים עוד יותר. העניקו משרעת מסוימת לכל אחד מהאופנים ותראו שהתנועה של המסות מסתבכת והולכת. התנועה יכולה להיות מסובכת מאוד מבחינה ויזואלית, עד שלא נוכל לזהות בה תדירויות ספציפיות, אבל אתם מבינים כבר בוודאי שלמעשה יש שם רק שני אופני תנודה, שתי תדירויות שמכתיבות את כל התנועה.
אם תרצו לסבך את המצב עוד יותר תוכלו לבחור ב"הצג פאזות", לשנות גם את הפאזה בין האופנים השונים ולראות איך השינוי הזה ישפיע על התנועה.
כעת אתם מוזמנים להוסיף עוד ועוד מסות. תוכלו לראות איך התנועה הולכת ומסתבכת למראית עין, אולם למעשה כל הוספה של מסה מוסיפה למערכת רק עוד אופן תנודה אחד. למעשה, הדרך היחידה לפתור מערכת מסובכת כזאת של מסות רבות היא למצוא את אופני התנודה של כל אחת מהן.
אחרי שאתם מרגישים שהבנתם את זה בממד אחד, תוכלו לעבור לאופציית שני הממדים, שבו המסות יכולות לנוע בו-זמנית בכיוון אופקי ובכיוון אנכי. בגלל זה כל אופן תנודה מאופיין במקביל בתדירות אופקית ובתדירות בכיוון האנכי, כך שכל אופן תנודה מתואר על ידי שני מספרים. 1,1, לדוגמה, אומר שהגוף נע באופן 1 הן בכיוון האופקי והן בכיוון האנכי; 1,2 מייצג אופן תנודה מספר 1 בכיוון האופקי ואופן תנודה מספר 2 בכיוון האנכי, וכך הלאה.
מובן שהוספת ממד תנועה חדש מסבכת מאוד את פתרון הבעיה מבחינה מעשית, מפני שמספר המצבים גדל מאוד (עולה בריבוע), אולם מבחינה עקרונית הבעיה נשארת ללא שינוי: צריך רק למצוא את אופני התנודה של המערכת ואז לתאר את התנועה באמצעות האופניים האלה.
אם ברצונכם להבין עד כמה המערכת יכולה להיות מסובכת, בחרו במספר המסות המקסימלי. כעת יהיו לכם 100=10*10 אופני תנודה נורמליים! נסו לראות אם אתם מסוגלים להזיז מאסות למיקום התחלתי כלשהו ולחזות אילו מאופני התנודה הללו יתארו את התנועה. תוכלו לראות שהדבר כמעט בלתי אפשרי, משום שמלכתחילה המערכת מסובכת מאוד להבנה אינטואיטיבית, אולם אם מפרקים את הבעיה לאופני התנודה שלה, היא ניתנת לפתרון מתמטי פשוט יחסית.
ונסיים בשאלה: האם אתם יכולים לחשוב על מערכת בטבע שמתנהגת בדומה מאוד למערכת המסובכת של מסות רבות המחוברות בקפיצים?
ירון גרוס
המחלקה לפיסיקה של חומר מעובה
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
