المُشَفِّرونَ والمُفَكّكون:
قوّة الأعداد الأوليّة

القليل من الرّياضيّات

تعتمد قوّة بروتوكول RSA على عدّة حقائق رياضيّة ترجع إلى نظريّة الأعداد، وأُولاها لها تتعلّق بالأعداد الأوّليّة. تنصّ النّظريّة الأساسيّة في الحساب على أنّ كلّ عدد طبيعيّ أكبر من 1 يمكن عرضه بطريقة واحدة ووحيدة كحاصل ضرب للأعداد الأوّليّة، ما يعني أنّه لا يوجد حاصل ضرب آخر للأعداد الأوّليّة الّتي ستنتج نفس العدد. على سبيل المثال، العدد 52 هو حاصل ضرب الأعداد الأوّليّة 2،2، و 13 وهو فقط ناتج حاصل ضربها. يُدعى عرض العدد كحاصل ضرب الأعداد الأوّليّة بالتّحليل للعوامل الأوّليّة. حقيقة مهمّة أخرى هي أنّه من الصّعب للغاية، ولا سيّما أنّه يستغرق وقتًا طويلًا من أجل تحليل أعداد كبيرة جدًّا إلى عواملها الأوّليّة. لذلك؛ فالوقت الّذي تستغرقه خوارزميّات الحاسوب المعروفة لتحليل مثل هذا العدد، على سبيل المثال ترتيب 1024 بت، إلى عوامله الأوّليّة يجعل هذه المهمّة تحدّيًا مستحيلًا من النّاحية العمليّة. 

مصطلحٌ رياضيٌّ آخر يجب أن نكون على علمٍ بهِ هو "مجموعات أوّليّة نسبيّة": يتمّ اعتبار عددين أوّليّين نسبيّين إذا لم يكن لهما قاسم مشترك. أي أنّه لا يوجد عدد باستثناء العدد 1 الّذي يقسم كلاهما بدون باقي. مثلًا، الأعداد الأوّليّة النسبيّة (Coprime integers) للعدد 5 وأصغر منه هي 1، 2، 3، و4. بناءً على هذا المفهوم، فإنّ دالّة أويلر المشار إليها بـ(ϕ(n، هي الدّالة الّتي تعطي عدد الأعداد الأصغر من n والغريبة عنه (أي الأوّليّة نسبيًّا بالنسبة له). على سبيل المثال، قيمة دالّة أويلر للعدد 5 هي 4، لأنّ هناك أربعة أعداد طبيعيّة غريبة عنه (أوّليّة نسبيّة) وأصغر منه. 

لدالّة أويلر صفتان عمليّتان تخصّنا. الأولى هي أنّ قيمة دالّة أويلر لعدد أوّليّ هي العدد نفسه ناقص 1. مثلًا، قيمة الدّالة للعدد 19 هي 18. وذلك لأنّ العدد الأوّليّ هو العدد الّذي قواسمه الوحيدة هي 1 والعدد نفسه. الصّفة الثانية هي أنّ قيمة دالّة أويلر لحاصل ضرب عددين أوّليّين نسبيّين هي حاصل ضرب قيمة الدّالّة للعددين بشكل منفصل، أي بصيغة رياضيّة ( ϕ(n⋅m)=ϕ(n)⋅ϕ(m. مثلًا، بدلًا من حساب قيمة الدّالة للعدد 15 (3 ضرب 5)، يمكن حساب قيمتها للعدد 3 وضربها بقيمة الدّالّة للعدد 5. نظرًا لكون العددين أوّليّين، يبقى طرح 1 من كليهما والحصول على قيمة دالّة أويلر للعدد 15 هي 2X4، أي 8. 

ترتبط الصّفتان المذكورتان أيضًا ببروتوكول ديفي- هيلمان- ماركل، الّذي ناقشناهُ في المقال السابق. الأوّل هو "الدّالّة أحاديّة الاتّجاه"، وهي الدّالّة الّتي يصعب استرجاع العدد الأصليّ الّذي أدخلناه فيها "المُدخَلات" بناءً على نتيجتها "المُخرجات"؛ أمّا الثّانية فهي دالّة أحاديّة الاتّجاه تُدعى المودولو، والّتي تعطي باقي حاصل قسمة عددين. على سبيل المثال، في المعادلة 1، 5mod2=1 هو حاصل قسمة 5 على 2. 

البروتوكول

يعتمد RSA على غرار بروتوكول ديفي- هيلمان- ماركل على دوالّ أحاديّة الاتّجاه. وهو أيضًا بروتوكول غير متماثل، أي أنّه يلزم وجود مفتاح خاصّ (سريّ) سيتمّ استخدامه لفكّ التّشفير ومفتاح عامّ يستخدم للتّشفير. إذا أرادت فاطمة إرسال رسالة إلى أخيها فادي، فستقوم بتشفيرها بواسطة المفتاح العامّ، لكنّ الطّريقة الوحيدة لفكّ تشفير الرّسالة هي استخدام مفتاح فادي الخاصّ. حتّى أنّ فاطمة، كاتبة الرّسالة لن تتمكّن من فكّها. هذا يختلف عن التّشفيرات المتماثلة حيث يتمّ استخدام مفتاح التّشفير أيضًا لفكّ الشّفرة، كما هو الحال في التّشفير التّبادليّ مثل طريقة كسيسكي (رابط المقال الرابع). 

يتكوّن البروتوكول حسب الترتيب التالي: