היום לפני: המתמטיקאי של חוסר השלמות

בתחילת המאה ה-20 הובילו המתמטיקאים המפורסמים ברטרנד ראסל (Russell) ודיוויד הילברט (Hilbert) מאמץ גדול למצוא מערכת לוגית בעלת מספר סופי של אקסיומות מתמטיות בסיסיות, שבאמצעותה יהיה אפשר להוכיח כל משפט. זה היה אמור להיות מעין אלגוריתם מושלם שיכול להסביר הכול. היוזמה נולדה בעקבות גילוי פרדוקסים בתורת הקבוצות של גאורג קנטור (Cantor), והשאיפה הייתה "לחסל אחת ולתמיד את הספק הכללי בדבר מהימנותו של היסק מתמטי", כלשונו של הילברט.

המאמץ הזה של בכירי המתמטיקאים של הדור עלה על שרטון ב-1931, כשמתמטיקאי אלמוני לחלוטין בן 25 בשם קורט גדל (Gödel) פרסם מאמר שבו הבטיח שתמיד יהיו לנו ספקות. שני משפטי אי השלמות המפורסמים שלו הוכיחו שאי אפשר ליצור מערכת כזו.

מר למה
גדל, מהמתמטיקאים הידועים ביותר של המאה ה-20, נולד בעיר ברנו שבאימפריה האוסטרו-הונגרית (כיום בצ'כיה). כבר כילד התעניין במדע ובמתמטיקה ובני משפחתו כינו אותו "מר למה" בשל שאלותיו הרבות. בגיל 18 החל את לימודיו באוניברסיטת וינה, ובהמשך התמקצע בלוגיקה מתמטית ונמנה על חברי "החוג הוינאי" – קבוצת פילוסופים שנהגה לדון במפגשיה בלוגיקה ובפילוסופיה של המדע. את עבודת הדוקטורט שלו סיים בשנת 1930 ובתור שנה בלבד, כאמור, כבר קנה לעצמו שם בעולם המתמטיקה.

לצורך משפטי אי-השלמות שלו השתמש גדל בשיטה מתוחכמת לקודד טענות וכללי היסק באמצעות מספרים טבעיים. הוא יצר למעשה מעין וריאציה על פרדוקס השקרן המפורסם של הפילוסוף אפימנידס ("אני שקרן") והראה שבשיטת הקידוד שלו אפשר ליצור על ידי המספרים הטבעיים פסוק שמשמעותו היא "אני פסוק בלתי ניתן להוכחה במערכת האקסיומות הזו".

בדומה לפרדוקס השקרן, המערכת אינה מסוגלת להכריע אם הפסוק אמיתי או שקרי. מכאן נובע שהיא אינה שלמה (כלומר מכילה טענות בלתי ניתנות להכרעה – משפט אי-השלמות הראשון), וגם אינה יכולה להוכיח שהיא עצמה עקבית (כלומר שאין בה סתירות – משפט אי השלמות השני).

למשפטים אלו הייתה השפעה עמוקה על ענף הלוגיקה, והם הוכיחו שאי אפשר ליצור את מערכת האקסיומות המושלמת, בניגוד לשאיפתם של ראסל והילברט. הלוגיקה שמאחורי המשפטים ואופן ההוכחה שלהם השפיעו עמוקות גם על מדעי המחשב ועל חלוץ המחשבים אלן טיורינג, שבעקבות מאמרו של גדל פיתח את המודל התיאורטי של המחשב (מכונת טיורינג).

בנוסף, המשפטים זכו לפופולריות מחוץ למדע וזכו לפרשנויות פילוסופיות ואפילו רוחניות כהוכחה לעליונותו של האדם על המכונה – על פי פרשנות שגויה למשפטים שלפיה האדם יכול להמציא פסוק שמכונה לא תוכל להכריע בדבר אמיתותו. אחרים ראו בה ראיה למגבלות המדע, שאינו יכול להוכיח כל טענה בכלים העומדים לרשותו. הפרשנויות הללו עדיין נתונות במחלוקת חריפה.

עליונותו של האדם. גדל (משמאל) עם אלברט איינשטיין | צילום מתוך: ויקיפדיה

נפש מעורערת
לאחר פרסום המשפטים זכה גדל להכרה ולתהילה בעולם המתמטיקה, אך חברותו ב"חוג הווינאי", שרוב חבריו היו יהודים, הקשו עליו למצוא משרה אקדמית באווירה האנטישמית ששלטה אז באוסטריה, אף שהוא עצמו לא היה יהודי. בשנת 1936 רצח תלמיד נאצי את מייסד החוג הווינאי מוריץ שליק, שהיה האיש שהדביק את גדל מלכתחילה בחיידק הלוגי. גדל לקח את הרצח קשה והעביר את מרבית אותה שנה במוסד לחולי נפש. בשנת 1939 זוהה בטעות ברחוב כיהודי וספג מכות נמרצות.

בשנת 1940, בעיצומה של מלחמת העולם השנייה, ברח גדל מגיוס לצבא, היגר עם אשתו לארה"ב ועבד עד סוף ימיו במכון ללימודים מתקדמים בפרינסטון. שם הוא גם פגש מדען מפורסם אחר שברח מהנאציזם, אלברט איינשטיין. גדל הקדיש חלק ניכר מימיו בפרינסטון כדי לעבוד על המתמטיקה של תורת היחסות ואף יצר בסיס תיאורטי מסוים לאפשרות של מסע בזמן.

בכלים דיאגנוסטיים של היום היינו מאבחנים את גדל כהיפוכונדר והיינו אומרים שהוא סבל מתסמונת אספרגר ובערוב ימיו אף היה סכיזופרן פרנואיד. המחלות הרבות שפקדו אותו בילדותו עוררו בו פחד חולני ממוות. הוא חיפש הוכחות באובססיביות בכל תחומי החיים, והיה מוכן להביע דעה רק אם הייתה לו הוכחה מוצקה. במבחן קבלת האזרחות האמריקאית שלו, לדוגמה, הוא התעקש לטעון שהחוקה האמריקאית פותחת פתח לדיקטטורה ואף טען שהוא יכול להוכיח את זה.

בערוב ימיו הסתגר גדל בביתו. כשהמתמטיקאי הצעיר פול כהן הגיע להציג לו את הוכחתו שהשערת הרצף, שהיא השערת יסוד בתורת הקבוצות, אכן בלתי ניתנת להכרעה כפי שגדל עצמו החל להוכיח עוד בשנות ה-30, חטף המתמטיקאי הוותיק את הדפים מידיו של כהן וטרק את הדלת בפניו. בזקנתו אף השתכנע שמנסים להרעיל אותו והסכים לאכול רק מזון שאשתו בישלה. ב-1978, כשהדבר נבצר ממנה בעקבות אשפוז ממושך בבית החולים, מת גדל מתת-תזונה. משקלו במותו היה פחות משלושים קילוגרם.